§7.Деякі теоретичні закони розподілу.

7.1. Показниковий закон розподілу.

Така величина,як час безвідмовної роботи деякого механізму описується щільністю розподілу (диференціальною функцією),графік якої наведено на рисунку.

f(x)

x

Видно,що це експонента,яка складає на проміжку (0;+ ). Для того,щоб ця функція описувала закон розподілу ймовірностей випадкової величини, вона повинна задовольняти умови 1 , тобто, у нас C dx = 1.

Знайдемо значення С.

C = C - ) = - (0-1) = = 1 ,C=λ , звідси .

- параметр розподілу ,виражається,на основі статистичних даних. Насамперед визначимо теоретичні моменти даного розподілу і порівняємо їх з емпіричними:

1)початковий момент 1-го порядку, тобто мат.сподівання показникового розподілу

M(x)= = λ dx = = λ =λ =

M(x) = .

2)центральний момент другого порядку,тобто,дисперсія

D(x) = λ dx - ( ) = .

(довести самостійно)

3)середнє квадратичне відхилення:

(x) = = .

Як бачимо,параметр розподілу пов’язаний з числовими характеристиками ВВ. Крім того , можна побачити,що для показникового закону характерна рівність мат.сподівання і середньо квадратичного відхилення. Порівняємо теоретичні та емпіричні моменти 1-го порядку тобто

M(x) =

Так як = , то λ

Тобто,для знаходження параметра показникового розподілу досить мати середню вибіркову.

Приклад. Нехай відомі результати перевірки деякого прикладу на іспитовому стенді. Випробувано 100 зразків,вивчався час безвідмовної безупинної роботи приладу. Воно склало для 80 приладів менш 10 годин; для 10 приладів 10-20 годин; для 5- 20-30годин, для 5- 30-40 годин. Визначити ймовірність того,що час роботи приладу складає не менше 20 годин.

Збудуємо інтервальний ряд:

Час безвідмовної роботи	0-10	10-20	20-30	30-40
Середній інтервал	5	15	25	35
Кількість приладів(частота ознаки)	80	10	5	5
Відносна частота	0.8	0.1	0.05	0.05

Збудуємо гістограму відносних частот.

W

0 ,8

0,6

0,6

0,4

0 ,2

0 10 20 30 40 x

Дивлячись на неї, можна припустити, що дана кількість ознака-час безвідмовної роботи приладу – розподілена за показниковим законом.

Визначаємо емпіричні моменти розподілу:

середня вибіркова:

=5·0,8+15·0,1+25·0,05+35·0,05=8,5

Вибіркова дисперсія

=5·0,8+225·0,1+625·0,05+1225·0,05-(8,5 =62,75.

виправлена дисперсія

= · = ·62,75 = 63,38

Середнє квадратичне відхилення

= = 7,9.

Бачимо,що мат.відхилення і середнє квадратичне відхилення близькі між собою. Це свідчить на користь показникового закону

F(x) = λ

Виражаємо λ = = ≈ 0,117 ≈ 0,12

Тепер. Маючи теоретичний закон розподілу, можна прогнозувати ймовірність появи того чи іншого значення цієї випадкової величини.

= 0,091.

Це ймовірність того, за час безвідмовної роботи приладу буде не менше 20 годин.

Показниковий закон відіграє велику роль в теорії машин та механізмів.