§6.Числові характеристики випадкової величини. Моменти розподілу. Визначення їх за даними досліду.

6.1.Основні характеристики розташування і варіації випадкової величини.

1.Математичне сподівання випадкової величини (середнє значення).

Нехай Х - дискретна випадкова величина,що приймає значення , з ймовірностями -. Їх мат. сподіванням М(Х) називають величину,що дорівнює сумі добутків її можливих значень на ймовірності, з якими ці значення з’являються:

Приклад.

На складі є 100 заготовок вагою 1кг, 20 - вагою 2кг. 5 - вагою 3кг. Визначити середню вагу заготовки. Середня вага і є мат.сподіванням ( середнє значення ) випадкової величини – ваги заготівки.

Якщо Х- неперервна випадкова величина із щільністю розподілу f(х) ,її математичне сподівання

визначається

Властивості математичного сподівання.

а)мат.сподівання сталої величини Х дорівнює цій величині:

M(C)=C; C=const;

б)Мат.сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх мат. сподівань:

M(X,Y,Z) = M(X) M (Y) M(Z);

Звідси виходить що сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання:

М(СХ)=М(С)м(Х)=СМ(Х);

в) мат.сподівання алгебраїчної суми випадкових величин дорівнює сумі мат.сподівань цих величин:

M(X+Y+Z) =M(X)+M(Y)+ M(Z).

Розглянемо дві випадкові величини X і Y,що мають наступні ряди розподілу:

	-2	-1	0	1	2
	0.05	0.2	0.5	0.2	0.05

	-20	-10	0	10	20
	0.05	0.2	0.5	0.2	0.05

Неважко переконатися,що М(Х)=О і М(Y)=О.

Незважаючи на те, що мат. сподівання однакові, але відхилення значень тієї й іншої величини його середнього істотно відрізняються. Відхиленням називають різницю між значенням випадкової величини і її мат. сподіванням:

У теорії ймовірностей розкид значень випадкової величини, тобто сукупність варіантів ознаки, характеризують дисперсією.

2. Дисперсією ( розсіюванням ) називають мат. сподіванням квадрата відхилень випадкової величини від її мат.сподівання

Формула для обчислення дисперсії:

а) для дискретної В В (випадкової величини)

б) для неперервної В В з щільністю розподілу f(х)

.

Для останнього прикладу дисперсії величин X тa Y відповідно дорівнюють D(X)=2; D (Y)=200.

Так як при зведенні до квадрату змінюється розмірність випадкової величини, для характеристики розкладу використовують величину,що дорівнює

І називається середнім квадратним відхиленням або стандартом.

.

6.2.Момент розподілу.

Розглянемо дискретну випадкову величину Х, задана розподілом

Х	1	2	5	100
Р	0.16	0.2	0.19	0.01

М(Х) = 1 0.16 + 2 0.2 + 5 0.19 + 100 0.01 = 2.95

Складемо тепер ряд із квадратів знань величини Х і знайдемо М( )

	1	4	25	10000
Р	0.16	0.2	0.19	0.01

істотно більше М (х) з наявності серед значень одного , значно більшого ніж інші, хоча і має дуже малу ймовірність появи.

Для урахування впливу таких знань в теорії ймовірності уведено моменти розподілу початкові і центральні ,які узагальнюють поняття числових характеристик випадкової величини.

Початковим моментом k-го порядку називають мат. сподівання величини ,тобто

Для конкретної величини :

Для неперервної:

Зокрема початковий момент 1-го порядку це мат.сподівання:

Початковий момент 2-го порядку - це мат. сподівання квадрата випадкової величини:

.

Центральним моментом k-го порядку називають математичне сподівання величини :

Центральний момент 1-го порядку :

Центральний момент 2-го порядку являє собою дисперсію:

Дисперсія може бути виражена через початкові моменти:

Також можна виражати і далі:

Моменти вищих порядків використовуються для опису закону розподілу .З ним зв’язані:

1)асиметрія

,

Що характеризує несиметричність кривої щільності розподілу випадкової величини щодо її мат. сподівання:

f(x)

A=0

A<0-лівостороння асиметрія A>0-правостороння асиметрія

0 x

2)ексцес

що характеризує гостро- або плосковершиність функції розподілу:

f(x)

E>0

E=0

E<0

x