3. Сортировка выбором

Основное действие сортировки выбором - поиск наименьшего элемента в просмат­ри­ваемой части массива и перестановка с первым элементом этой части:

For i := 1 to n - 1 do begin

k := Индекс( Min(a[i], ..., a[n]));

Переставить a[i], a[k]

end;

Program SelectSort;

Const n = 10;

Var a : array[1..n] of Real;

i, j, MinInd : Integer; b : Real;

Begin

{Блок ввода массива}

For i := 1 to n - 1 do begin

MinInd := i;

for j := i + 1 to n do

If a[j] < a[MinInd] then

Begin

MinInd := j;

b := a[MinInd]; a[MinInd] := a[i]; a[i] := b

end

end;

{Блок вывода массива}

End.

Рис 2. Алгоритм сортировки обменами

Алгоритм SelectSort осуществляет n-1 линейный просмотр массива а. В результате каждого просмотра наименьший элемент просмотренной части массива меняется местами с первым элементом этой части. Первый просмотр осуществляется во всем массиве, а каждый следующий – в диапазоне, на единицу меньшем. Таким образом, левая часть массива становится упорядоченной. На рисунке эти элементы – от a[1] до a[i] - заштрихованы серым. На рисунке выделены переставляемые элементы a[i+1] и a[MinInd].

Анализ алгоритма сортировки выбором

Внутренний цикл осуществляет поиск минимального элемента. После выполнения оператора If имеет место соотношение Min = Min(a[i], a[i+1], ... , a[j]), а после завершения цикла Min = Min(a[i], a[i+1], ... , a[n]). После перестановки имеем: a[i] = Min(a[i], a[i+1], ... , a[n]). Внешний цикл управляет длиной просматриваемой части массива. После вы­­пол­­не­ния тела внешнего цикла начало массива отсортировано: a[1]  a[2]  .. a[i]

После завершения внешнего цикла получим:

a[1]  a[2]  ...  a[n-1], a[n-1] = Min(a[n-1], a[n]), т.е массив отсортирован.

Внешний цикл выполнился n-1 раз. Внутренний цикл выполняется i-1 раз (i = n-1, n-2, ...,1). Каждое выполнение тела внутреннего цикла заключается в одном сравнении.

Поэтому C(n) = 1 + 2 + ... + n - 1 = n(n - 1)/2,

Перестановка элементов осуществляется во внешнем цикле. Поэтому M(n) = 3(n - 1)

Также, как и алгоритм сортировки обменами, анализируемый алгоритм устойчив. Можно сделать вывод, что простая сортировка выбором эффектив­ней сортировки просты­ми обменами по критерию M(n). Если сортируемая после­довательность состоит из данных большого размера, этот критерий может иметь решающее значение.

4. Сортировка вставками

Еще один простой алгоритм сортировки - сортировка вставками основан на следующей идее: предположим, что первые k элементов массива A[1..n] уже упорядочены: A[1]  A[2]  ...  A[k], A[k+1], ..., A[n]. Найдем место элемента A[k+1] в начальном отрезке A[1],...,A[k] и вставим этот элемент на свое место, получив упорядоченную последовательность длины k+1. Поскольку начальный отрезок массива упорядочен, поиск нужно реализовать как бинарный. Вставке элемента на свое место должна предшествовать процедура сдвига “хвоста” начального отрезка для освобождения места.

Program InsSort;

Const n = 100;

Var A : array[1..n] of Integer;

k : Integer; l, r, i, j : Integer; b : Integer;

Begin

{Блок чтения массива A}

For k := 1 to n-1 do begin

b := A[k+1];

If b < A[k]

then begin

l := 1; r := k; {Бинарный поиск}

Repeat

j := (l + r) div 2;

If b < A[j] then r := j else l := j + 1;

until (l = j); { Сдвиг “хвоста” массива на 1 позицию вправо}

For i := k downto j do A[i+1] := A[i];

A[j] := b ; { Пересылка элемента на свое место}

end

end;

{Блок вывода массива A}

End.

Рис 3. Алгоритм сортировки вставками

Алгоритм InsSort осуществляет n-1 линейный просмотр массива а. В каждом просмотре ищется место элемента a[]k+1], следующего непосредственно за уже упоря­доченным диапазоном массива 1..k. На рисунке этот диапазон – от a[1] до a[k] – заштри­хован серым Затем элемент a[]k+1] вставляется на свое место. Вставке элемента предшествует сдвиг диапазона j..k вправо на одну позицию. Таким образом, левая, уже упорядоченная часть массива становится большей на 1 элемент. На рисунке выделены обрабатываемый элемент a[k+1] и элементы, между которыми он вставляется.

Оценим эффективность алгоритма. Поиск места элемента A[k+1] требует, как показано выше, O(log₂ k ) сравнений. Поэтому в худшем случае количество сравнений С(n) есть C(n) = O(log₂ 2 ) + ... + O(log₂(n-1)) + O(log₂ n) = O(n log₂ n)

Сдвиг хвоста на каждом шаге внешнего цикла в худшем случае требует k перестановок. Поэтому в худшем случае M(n) = 1+..+ (n-2) + (n-1) = n*(n-1)/2 = O(n²).

Таким образом, алгоритм сортировки вставками существенно эффективнее, чем все рассмотренные ранее алгоритмы по числу сравнений. Однако число перестановок в худшем случае так же велико, как и в самом неэффективном алгоритме - сортировке простыми обменами.

6