2.4 Производная сложной функции
Пусть в некоторой
окрестности точки
определена функция
,
а в окрестности точки
определена функция
.
Тогда существует окрестность точки
,
в которой определена суперпозиция
функций, т.е. сложная функция
.
Теорема 4.
Пусть функция
дифференцируема в некоторой точке
,
а функция
дифференцируема в соответствующей
точке
.
Тогда сложная функция
дифференцируема в указанной точке
и
|
(13) |
.
Доказательство:
Пусть приращению
аргумента в точке
соответствует приращение
функции
,
а
,
в свою очередь, вызывает приращение
функции
.
Так как
и
дифференцируемы в точках
и
соответственно, то приращения в этих
точках, согласно определению
дифференцируемости функции, можно
записать в виде
,
,
где
и
– функции, бесконечно малые при
и
соответственно.
Отсюда
|
(14) |
.
Здесь
– приращение сложной функции
,
вызванное приращением
ее аргумента
,
а
.
Так как
при
,
есть функция, бесконечно малая при
,
тогда равенство (14) показывает, что
функция
дифференцируема в точке
.
Ее производная в этой точке определяется
формулой (13). Что и требовалось доказать.
Сформулируем еще раз правило дифференцирования сложной функции, которое следует из доказанной теоремы.
Производная сложной
функции
по независимому переменному
равна произведению производной функции
по промежуточному аргументу и производной
промежуточного аргумента
по независимому аргументу
,
т.е.
|
(15) |
.Пример 3. Пользуясь правилом (15), найдем производные следующих функций:
1)
.
Пусть
,
где
.
Обе эти функции дифференцируемы.
,
.
.
2)
.
Пусть
,
где
.
Обе эти функции дифференцируемы.
,
.
.
Если сложная функция получена в результате нескольких суперпозиций, то ее производную следует искать последовательным применением изложенного выше правила.
3)
.
Пусть
,
где
;
обозначим
.
Тогда
,
где
,
.
;
;
.
.
Промежуточные аргументы во всех примерах мы ввели для большей наглядности. Обычно правило дифференцирования сложной функции применяют, не вводя промежуточные аргументы в явном виде.
4)
.
.
2.5 Практическое занятие №2. Табличное дифференцирование. Производная сложной функции
Упражнение 1. Найти производные функций:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
;
д)
.
Решение: а)
Так как
,
воспользуемся
правилом дифференцирования частного
.
Поэтому
.
Итак,
.
б)
,
.
Итак,
.
в)
.
Воспользуемся связью производных прямой
и обратной функций:
.
Но из соотношения
следует, что
,
значит,
,
поэтому
.
Итак,
,
в частности
.
г)
.
Воспользуемся связью производных прямой
и обратной функций:
.
Так как
,
то
.
Перед знаком корня
берем знак плюс, так как функция
принимает значения
,
для которых
неотрицателен. Поэтому
.
Аналогично можно
найти производную функции
.
д)
.
Воспользуемся связью производных прямой
и обратной функций:
.
Имеем
,
отсюда
.
Значит
.
Итак,
.
Аналогично,
.
Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Упражнение 2. Найти производные следующих функций:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
.
Решение: 1) . Воспользуемся правилом дифференцирования суммы и разности функций.
.
Итак,
.
2) . Воспользуемся правилом дифференцирования разности и производной степенной функции.
.
Итак,
.
3) . Воспользуемся правилом дифференцирования частного функций.
.
Итак,
.
4) .
Воспользуемся правилом дифференцирования разности и произведения функций.
.
Итак,
.
5) . Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций.
.
Итак,
.
6) . Воспользуемся правилом дифференцирования произведения.
.
Итак,
.
7) . Воспользуемся правилами дифференцирования разности и произведения.
.
Итак,
.
Ответ: 1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , ;
5)
,
;
6) , ;
7) , .
Упражнение 3. Найти производные сложных функций:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
Решение:
Во всех задачах применим формулу
дифференцирования сложной функции:
если
,
то
.
1) .
.
Ответ:
.
2) .
.
Ответ:
.
3) .
.
Ответ:
.
4) .
.
Ответ:
.
5) .
.
Ответ:
.
6) .
.
Ответ:
.
7) .
.
Ответ:
.
8) .
.
Ответ:
.
9) .
.
Ответ:
.
10) .
.
Ответ:
.
11)
.
.
Ответ:
.
12) .
.
Ответ:
.