7.4 Практическое занятие №7. Второе правило отыскания точек экстремума. Исследование графика функции на вогнутость и выпуклость. Точки перегиба. Асимптоты графика функции

Упражнение 1. Найти экстремум функции, используя второе правило нахождения экстремума: .

Решение: Область существования функции  бесконечный интервал . Первая производная функции равна:

.

Для определения критических точек решаем уравнение ; , , . Найдем теперь вторую производную функции: . Согласно второму правилу определяем знак второй производной в каждой критической точке:

; при функция имеет минимум, ,

; при функция имеет максимум, ,

; при функция имеет минимум, .

Эскиз графика функции представлен на рисунке 48.

Рисунок 48

Ответ: В точках и функция имеет минимум, , ; в точке функция имеет максимум, .

Упражнение 2. Найти экстремум функции, используя второе правило нахождения экстремума .

Решение: Область определения функции  бесконечный интервал . Первая производная функции равна:

.

Для определения критических точек решаем уравнение ; , , . Найдем теперь вторую производную функции:

.

Согласно второму правилу определяем знак второй производной в каждой критической точке:

; при функция имеет максимум, ,

; при функция имеет минимум, ,

, для заключения о поведении функции в этой точке надо прибегнуть к исследованию по первой производной.

Рассмотрим знаки первой производной в интервалах и (см. рисунок 49).

Рисунок 49

Так как первая производная не меняет знака при переходе через точку , функция в ней экстремума не имеет.

Эскиз графика функции представлен на рисунке 50.

Рисунок 50

Ответ: В точке функция имеет максимум, ; в точке функция имеет минимум, ; в точке функция экстремума не имеет.

Упражнение 3. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение: Область существования функции – интервал ; ; , и так как при любом значении , то кривая вогнута на всем интервале . Точек перегиба нет.

Эскиз графика функции представлен на рисунке 51.

Рисунок 51

Ответ: Кривая вогнута на всем интервале . Точек перегиба нет.

Упражнение 4. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение: Область существования функции – интервал .

; .

Так как неравенство выполняется при любом значении из области существования функции, то кривая на всем интервале выпукла. Точек перегиба нет.

Эскиз графика функции представлен на рисунке 52.

Рисунок 52

Ответ: Кривая выпукла на всем интервале . Точек перегиба нет.

Упражнение 5. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение: Функция определена и дважды дифференцируема для всех . Для определения критических точек II рода найдем . Имеем

,

_.

при и при условии , т.е. .

Точки , и являются критическими точками II рода. Отметим эти точки на числовой прямой и найдем знаки второй производной в каждом из интервалов: , , и (см. рисунок 53).

Рисунок 53

При , значит график функции  вогнутая кривая на этом интервале. При переходе через точку вторая производная знака не меняет, поэтому точка не является точкой перегиба.

При , значит график функции  вогнутая кривая на этом интервале. При переходе через точку вторая производная меняет знак, поэтому точка является точкой перегиба.

При , значит график функции  выпуклая кривая на этом интервале. При переходе через точку вторая производная меняет знак, поэтому точка является точкой перегиба.

При , значит график функции  вогнутая кривая на этом интервале.

Эскиз графика функции представлен на рисунке 54.

Рисунок 54

Ответ: При график функции  вогнутая кривая, точка не является точкой перегиба; при график функции  вогнутая кривая, точка является точкой перегиба; при график функции  выпуклая кривая, точка является точкой перегиба; при график функции  вогнутая кривая.

Упражнение 6. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение: Функция определена и дважды дифференцируема для всех . Находим вторую производную:

; .

Здесь нигде не обращается в нуль, а при она не существует.

При кривая может иметь перегиб, так как эта точка принадлежит области определения функции.

Исследуем поведение второй производной функции в окрестности точки (см. рисунок 55).

Рисунок 55

При , значит, график функции на этом промежутке  вогнутая кривая, при , значит, на этом промежутке график функции  выпуклая кривая. Так как при переходе через точку вторая производная меняет свой знак, значит, точка является точкой перегиба для функции . Эскиз графика функции представлен на рисунке 56.

Рисунок 56

Ответ: При график функции  вогнутая кривая; при график функции  выпуклая кривая; точка является точкой перегиба.

Упражнение 7. Найти асимптоты графика функции: .

Решение: функция существует всюду, кроме точки , т.е. .

1) Найдем вертикальные асимптоты. Проверим выполнение условия (1) при и .

,

.

Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой.

2) Найдем невертикальные асимптоты: . Проверим выполнение условий (5) и (6) при :

,

.

Прямая является наклонной асимптотой при и при . Эскиз графика функции представлен на рисунке 57.

Рисунок 57

Ответ: график функции имеет вертикальную асимптоту и наклонную .

Упражнение 8. Найти асимптоты графика функции: .

Решение: функция определена на множестве .

1) Найдем вертикальные асимптоты. Проверим выполнение условия (1) при и .

,

.

Следовательно, прямые и являются вертикальными асимптотами.

2) Невертикальных асимптот график функции не имеет, так как ее областью определения является интервал , поэтому не может стремиться к бесконечности. Эскиз графика функции представлен на рисунке 58.

Рисунок 58

Ответ: прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции, наклонных асимптот кривая не имеет.

Упражнение 9. Найти асимптоты графика функции: .

Решение: функция существует на множестве .

1) Найдем вертикальные асимптоты. Проверим выполнение условия (1) при :

.

Следовательно, прямая не является вертикальной асимптотой.

2) Найдем невертикальные асимптоты: . Проверим выполнение условий (5) и (6) при .

,

.

При функция имеет наклонную асимптоту . Эскиз графика функции представлен на рисунке 59.

Рисунок 59

Ответ: вертикальных асимптот кривая не имеет, при функция имеет наклонную асимптоту .

Упражнение 10. Найти асимптоты графика функции: .

Решение: функция определена при всех действительных .

1) Кривая не имеет вертикальных асимптот, так как она непрерывна для всех действительных .

2) Невертикальные асимптоты. Проверим выполнение условий (5) и (6) при и .

,

Следовательно, при кривая имеет горизонтальную асимптоту .

,

.

Следовательно, при кривая имеет наклонную асимптоту .

Ответ: кривая не имеет вертикальных асимптот, при кривая имеет горизонтальную асимптоту , при кривая имеет наклонную асимптоту .