1.2 Геометрический и механический смысл производной
Понятие производной сформировалось в самой тесной связи с решением двух задач: геометрической – о построении касательной к кривой, и физической – об отыскании скорости движения материальной точки, когда известен закон движения этой точки. Решая такие задачи, мы еще в школьных курсах математики и физики выяснили геометрический и физический смысл производной.
В XVII веке особенно возрос интерес к обеим задачам, решавшимся самыми разнообразными методами. Изучая эти методы, мы можем заметить связь между этими задачами и увидеть, как формировалось понятие производной. Рассмотрим, например, задачу о падении тела.
Великий итальянский
ученый, астроном, механик и математик
Галилео
Галилей (1564-1642)
был одним из первых в изучении движения
падающих тел. Им, его учениками и
последователями было установлено, что
если тело брошено с некоторой горизонтальной
начальной скоростью, то перемещения
точки по горизонтали (оси
)
будут пропорциональны отрезкам времени,
за которое это перемещение осуществляется.
Перемещения же по вертикали (оси
)
пропорциональны квадратам этих отрезков
времени. Траекторией движения точки
при этом будет парабола. Рассмотрим
параллелограмм, сторонами которого
будут горизонтальная и вертикальная
составляющие скорости движения тела
по параболе. Сам вектор скорости,
найденный как диагональ этого
параллелограмма, будет направлен по
касательной к параболе (см. рисунок 1).
Рисунок 1
Из школьного курса физики должен быть известен механический смысл производной. Если некоторая функция задает закон движения тела, то, отыскав производную этой функции в некоторой точке, мы найдем скорость движения тела в данный момент времени.
Рассмотрим теперь более подробно вопрос о геометрическом смысле производной функции в точке.
Пусть на интервале
задана непрерывная функция
.
Её графиком будет непрерывная кривая
(см. рисунок 2).
Рисунок 2
Возьмем на кривой
некоторую точку
:
.
Пусть точка
также лежит на кривой
.
Прямую, проходящую
через точки
и
,
назовем секущей графика
.
Обозначим буквой
угол, который эта секущая образует с
положительным направлением оси
.
Из рисунка 2 видно, что
.
Если
,
то
,
так как функция
непрерывна в каждой точке интервала
.
Тогда точка
,
перемещаясь по кривой
,
стремится к точке
.
При этом секущая кривой стремится занять
положение касательной к этой кривой в
точке
.
Если при этом угол
,
образованный секущей и положительным
направлением оси
,
стремится к некоторому значению
,
отличному от
и
,
то существует предел
,
равный конечной
производной от функции
в точке
:
.
Обратно, если
существует конечная производная
,
то
.
Таким образом,
если непрерывная функция
имеет конечную производную
в точке
,
то график
в соответствующей точке имеет касательную
с угловым коэффициентом
,
где
.
Здесь
– угол, образованный касательной к
графику функции
в точке
и положительным направлением оси
.
Как мы уже отметили, может случиться, что функция в точке имеет правую и левую производные, не равные между собой:
.
Каков геометрический смысл этого случая?
Такая точка будет угловой. Касательная к кривой в ней не существует, но можно сказать, что существуют «правая» и «левая» касательные с разными угловыми коэффициентами (см. рисунок 3).
Рисунок 3
Пусть теперь производная функции в точке бесконечна:
.
Здесь следует выделить четыре возможных случая:
1)
,
,
см. рисунок 4.
Рисунок 4
2)
,
,
см. рисунок 5.
Рисунок 5
3)
и
.
Левая касательная к графику функции в точке перпендикулярна оси и направлена вниз. Правая касательная к графику в этой точке также перпендикулярна оси , но направлена вверх. См. рисунок 6.
Рисунок 6
4)
и
.
Случай, противоположный предыдущему, см. рисунок 7.
Рисунок 7