4.3 Дифференцирование параметрически заданной функции

Пусть зависимость переменной от переменной задана уравнениями (1)

.

Предположим, что все эти функции имеют производные и что функция имеет обратную функцию , которая также имеет производную. Тогда определенную уравнениями (1) функцию можно рассматривать как сложную функцию , где , то есть здесь будет промежуточной переменной.

По правилу дифференцирования сложной функции получим:

.

(6)

Производную обратной функции находим так:

.

Подставляя это выражение в равенство (6), получим:

или , или

.

(7)

Для нахождения второй производной дифференцируем по равенство (7), имея в виду, что есть функция от :

,

(8)

но , ; подставим два эти выражения в формулу (8).

, или в более компактном виде:

.

(9)

4.4 Практическое занятие №4. Производная функции заданной параметрически. Геометрические приложения производной

Упражнение 1. Найти производную для функций, заданных параметрически: а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Решение: а) . Применим формулу (7). , .

.

Ответ: .

б) . , .

.

Ответ: .

в) . ,

.

.

Ответ: .

г) .

, .

.

Ответ: .

Упражнение 2. Найти от следующих функций:

а) ,

б) .

Решение: а) . Применим формулу (9).

, .

.

Ответ: .

б) . , .

.

Ответ: .

Прежде чем продолжать практическое занятие, выведем уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.

Пусть функция дифференцируема в точке . Поставим задачу о построении касательной к графику функции в точке .

Из курса аналитичекской геометрии известно, что уравнение пучка прямых, проходящих через точку имеет вид: , где – угловой коэффициент прямой, проходящей через точку . Выделим из всего пучка прямую, являющуюся касательной к графику функции в точке .

Исходя из геометрического смысла производной, имеем: угловым коэффициентом касательной к графику функции в точке является значение производной функции в точке , т.е. .

Значит, уравнение касательной имеет вид: , отсюда имеем уравнение касательной: или

.

(10)

Определение: Нормалью кривой называется прямая, перпендикулярная касательной к этой кривой и проходящая через точку касания.

Найдем угловой коэффициент нормали к графику функции в точке . Так как касательная и нормаль – перпендикулярные прямые, их угловые коэффициенты связаны соотношением: . Исходя из геометрического смысла производной, имеем: . Значит, , отсюда имеем уравнение нормали: или .

Упражнение 3. Составить уравнение касательной и нормали к кривым в указанных точках:

а) в начале координат;

б) в точке пересечения с осью Ox;

в) в точке пересечения с осью Oy;

г) в точке пересечения с осью Ox;

д) в точках пересечения с прямой .

Решение: а) Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: . Найдем производную функции и составим уравнение касательной и нормали в точке .

, .

, – уравнение касательной.

Уравнение нормали имеет вид: . В нашем случае имеем: , – уравнение нормали.

Ответ: , .

б) ,

.

Найдем точку пересечения графика функции с осью Ox.

, , , значит . Имеем точку с координатами .

.

Составим уравнение касательной и нормали:

– уравнение касательной.

– уравнение нормали.

Ответ: , .

в) .

Найдем координаты точки касания:

.

Имеем точку касания с координатами: .

, .

Составим уравнение касательной и нормали к графику функции в точке касания.

– уравнение касательной.

– уравнение нормали.

Ответ: , .

г) , .

Найдем координаты точки касания: . Точка касания имеет координаты: . .

, – уравнение касательной.

, – уравнение нормали.

Ответ: , .

д) . .

Найдем координаты точки касания: , , . Получаем: . Прямая пересекает график функции в двух точках и . Запишем уравнение касательной и нормали для каждой точки касания.

Рассмотрим точку .

.

, – уравнение касательной в точке .

, – уравнение нормали в точке .

Рассмотрим точку . .

, – уравнение касательной в точке .

, – уравнение нормали в точке .

Ответ: , , .

, , .

Упражнение 4. Составить уравнение касательной и нормали в точке к кривой

Решение: Найдем производную функции, заданной параметрически: , .

.

Найдем значение параметра , соответствующего точке с координатами . Для этого подставим координаты точки в аналитическое выражение функции.

, .

Чтобы узнать какой параметр выбрать, подставим значение и в выражение . Этому уравнению удовлетворяет только .

.

, – уравнение касательной.

, – уравнение нормали.

Ответ: , .

Упражнение 5. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с ординатой .

Решение: Найдем абсциссу точки касания: , значит . Действительным корнем уравнения является . – точка касания.

Найдем производную функции, заданной неявно: . Получаем: . .

, – уравнение касательной.

, – уравнение нормали.

Ответ: , .

Упражнение 6. Найти угол, под которым пересекаются параболы и .

Решение: Найдем точку пересечения парабол.

, , . Параболы пересекаются в двух точках с абсциссами .

Углом между кривыми является угол между касательными к ним, проведенными в точках пересечения кривых. Тангенс этого угла равен: , где и – угловые коэффициенты касательных, проведенных к соответствующим кривым.

Рассмотрим точку . Обозначим через – угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в точке с абсциссой , а через – угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в точке с абсциссой .

Найдем угловые коэффициенты и , исходя из геометрического смысла производной.

, .

, .

, .

, значит .

Рассмотрим точку . Обозначим через – угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в точке с абсциссой , а через – угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в точке с абсциссой .

Найдем угловые коэффициенты и , исходя из геометрического смысла производной.

, .

, .

, .

, значит .

Ответ: , .