''Оренбургский государственный университет''

1 Лекция №1. Введение

…....…….……..………………..…………………………5

1.1 Производная функции

....………….…….…….………………………..…….5

1.2 Геометрический и механический смысл производной

………………….…6

1.3 Практическое занятие №1. Вычисление производной функции по

определению и ее геометрический смысл

….......……………………………….11

1.4 Задачи для самостоятельного решения

.........………………………………16

2 Лекция №2. Дифференцируемость функции. Правила дифференцирования

функции

…....…………………………………………………………………….....17

2.1 Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал

………....………17

2.2 Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного

функций

…………………………………………………………………………….20

2.3 Производная обратной функции

.....………………………………….…….22

2.4 Производная сложной функции

.......………………………………………23

2.5 Практическое занятие №2. Табличное дифференцирование. Производная

сложной функции

….....……..…………………………………….……………….25

2.6 Задачи для самостоятельного решения

..…….....…………………………..31

3 Лекция №3. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная

неявной функции. Логарифмическое дифференцирование

..…………………...32

3.1 Производные и дифференциалы высших порядков

……………….……...32

3.2 Неявные функции и их дифференцирование

...……………………………34

3.3 Логарифмическое дифференцирование

..……………..….……...………...36

3.4 Практическое занятие №3. Дифференциал функции. Производные и

дифференциалы высших порядков. Производные функции заданной, неявно.

Логарифмическое дифференцирование

....……………………………………….37

3.5 Задачи для самостоятельного решения

...…………………………………..45

4 Лекция №4. Дифференцирование параметрически заданной функции

...……47

4.1 Параметрическое задание функции

….…………………………………….47

4.2 Уравнение некоторых кривых в параметрической форме

.………………47

4.3 Дифференцирование параметрически заданной функции

.………………51

4.4 Практическое занятие №4. Производная функции, заданной

параметрически. Геометрические приложения производной

..………………...53

4.5 Задачи для самостоятельного решения

…….………………………………60

5 Лекция №5. Теоремы о среднем значении и их применение

..……………….61

5.1 «Французские» теоремы

…………………………………………………….61

5.2 Следствия из «французских теорем»

...…………………………………….65

5.2.1 Связь между поведением функции и ее производной (следствие из

теоремы Лагранжа)

..………………………………………………………………65

5.2.2 Необходимое и достаточное условия существования экстремума

функции в точке

...…………………………………………………………………66

5.3 Практическое занятие №5. Применение теорем о среднем и следствий из

них к исследованию функций

..…………………………………………………...69

5.4 Задачи для самостоятельного решения

...…………………………………..77

6 Лекция №6. Следствия из «французских теорем» (продолжение)

..…..……...78

6.1 Раскрытие неопределенностей по правилу Бернулли-Лопиталя

.....…….78

6.2 Примеры применения правила Бернулли-Лопиталя

.…………………….79

6.3 Применение правила Бернулли-Лопиталя к вычислению пределов от

степенно-показательной функции

………………………....………………………81

6.4 Практическое занятие №6. Применения правила Бернулли-Лопиталя к

вычислению пределов

..……………………………………………………………82

6.5 Задачи для самостоятельного решения

……………………………………..85

7 Лекция №7. Применение средств дифференциального исчисления к

исследованию функций и построению графиков

…………..……………………86

7.1 Два правила отыскания точек экстремума

..………………………………86

7.2 Геометрический смысл второй производной. Вогнутость и выпуклость

кривой. Точки перегиба

…………………………………………………………….87

7.3 Асимптоты графика функции

..………………………………………………91

7.4 Практическое занятие №7. Второе правило отыскания точек экстремума.

Исследование графика функции на вогнутость и выпуклость. Точки

перегиба

……………………………………………………………………………..95

7.5 Полное исследование функции методами дифференциального исчисления

и построение её графика

………………………………………………………….104

7.6 Задачи для самостоятельного решения

……………………………………114

8 Лекция №8. Формула Тейлора

………………………………………………...115

8.1 Формула Тейлора

..…………………………………………………………115

8.2 Различные представления остаточного члена формулы Тейлора

………119

8.3 Практическое занятие №8. Формула Тейлора

……………………………121

8.4 Задачи для самостоятельного решения

……………………………………127

9 Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функции

одной переменной»

………………………………………………………………..128

10 Вопросы к экзамену

…………………………………………………………...130

Список использованных источников

……………………………………………131