§ 2. Бинарные отношения

Под бинарным отношением понимают отношение между двумя предметами. Дальше, говоря «отношение», будем иметь в виду .бинарное отношение. Выясним, что интуитивно понимают под отно­шением и как это понятие можно описать математически Из курса школьной математики известны многочисленные при­меры отношений:

между числами: «равно», «неравно», «меньше», «больше», «неменьше», «не больше», «делит», «делится на»;между точками прямой: «предшествует», «следует за»;между прямыми: «параллельны», «пересекаются», «перпен­дикулярны», «скрещиваются»;между прямой и плоскостью: «параллельны», «пересекаются»,«перпендикулярны»;между плоскостями: «параллельны», «пересекаются», «пер­пендикулярны»;

— между геометрическими фигурами: «равно», «подобно» и др. Это, разумеется, далеко не полный перечень встречающихся в школьной математике отношений.

Примеры бинарных отношений встречаются не только в мате­матике, но и всюду в жизни, вокруг нас. Родственные и другие отношения между людьми (быть отцом, дедушкой, матерью, бабуш­кой, братом, сестрой, другом, ровесником, старше, моложе, выше, ниже и др.) выступают как бинарные отношения. Отношения между событиями во времени (раньше, позже, одновременно), между пред­метами по их расположению в пространстве (выше, ниже, левее, правее, севернее, южнее и др.) также выступают как бинарные отношения.

Проанализируем складывающееся на базе опыта интуитивное понятие отношения. Прежде всего рассмотрим несколько приме­ров.

Пример 1. Возьмем отношение Р: «город х стоит на берегу реки у».

Всегда, когда говорим о каком-то отношении, мы имеем в виду множества предметов, между которыми установлено это отноше­ние. В нашем примере имеется в виду некоторое множество А городов и некоторое множество В рек.

Пусть А ={Астрахань, Волгоград, Киев, Минск, Могилев, Моск­ва, Ростов, Ульяновск} и В = {Волга, Днепр, Дон, Москва-река}.

Рассматриваемое отношение может быть задано следующей таб­лицей истинности:

А	В
	Волга	Днепр	Дои	Москва-река
Астрахань	И	Л	л	л
Волгоград	и	л	л	л
Киев	л	и	л	л
Минск	л	л	л	л
Могилев	л	и	л	л

В приведенной таблице буква И (истинно) поставлена в тех клетках, которые соответствуют парам (город, река,) находящимся в заданном отношении, т. е. если в предложении «город х стоит на берегу реки у» вместо х и у подставить имена соответствующих городов и рек, получим истинные высказывания («Астрахань стоит на берегу Волги», «Волгоград стоит на берегу Волги», «Киев стоит на берегу Днепра» и т. д.). Буква Л (ложно) стоит в тех клетках, которые соответствуют парам (город, река), не находящимся в данном отношении. Например, «Минск стоит на берегу Волги», «Могилев стоит на берегу Дона» и др.— ложные высказывания. Эта таблица дает ответ на вопрос: какой город из множества А стоит на берегу какой реки из множества В? Ответ можно за­писать и в виде множества пар:

{(Астрахань, Волга), (Волгоград, Волга), (Киев, Днепр), (Мо­гилев, Днепр), (Москва, Москва-река), (Ростов, Дон), (Ульяновск,

Волга)}.

Сколько всего возможно пар вида (город, река), т. е. элемен­тов декартова произведения АХ.В в данном примере? В таблице всего клеток (или пар) 32. Таким образом, рассматриваемое от­ношение может быть задано с помощью множества из 7 пар, представляющего собой подмножество декартова произведения

АХ В.

Данное отношение можно задать и более наглядным способом — с помощью фигуры, называемой ориентированным гра­фом, состоящей из точек, вершин графа и стрелок, ребер графа.

На рисунке 6 изображен граф, задаю­щий отношение «меньше» в множестве А;

элементы множества А изображены вершинами графа, а стрелка исходит из вершины а и направлена к вершине b, если предложение a<b истинно.

Рассмотренные примеры 1 и 2 показывают, что всегда, когда речь идет о некотором отношении, имеются в виду два множества Л и В (эти множества могут, в частности, совпадать, как в при­мере 2, т. е. возможно, что В = А) и при этом некоторые элемен­ты множества А находятся в данном отношении с некоторыми элементами множества В или того же множества А. Таким образом, всякое отношение между элементами множеств А и В (или между элементами множества А) порождает множе­ство пар, первые компоненты которых принадлежат А, вторые В (или тоже А), т. е. порождает подмножество АХВ (или АХА), причем такое, что элементы каждой пары и только они находятся в данном отношении.

Как видно из проведенного анализа интуитивного понятия от­ношения, всякое отношение между элементами двух множеств А и В полностью характеризуется тремя множествами: А и В, между элементами которых установлено отношение, некоторым множеством пар Р — подмножеством АХВ, т. е. декартовым произведением. Один из путей определения математического понятия отношения и состоит в отождествлении этого понятия с указанной тройкой множеств. Если же определяют отношение вообще, без указания, между элементами каких множеств оно установлено, то обычно отождествляют его с множеством пар Р.

Отношением между элементами непустых множеств А и В назы­вается тройка множеств

р=(Р, А, В), где Рс=АхВ.

Множество пар Р называется графиком отношения р. Об элементах пары (je, у), принадлежащей графику Р, говорят, что они находятся в отношении р, и записывают это так: «хру»

Таким образом, записи «(*, у)£Р» и «.хру» равносильны. Если В —А, то р=(Р, А, А) называется отношением между элементами множества А. Так, в примере 2 мы имели отношение «меньше» между элементами множества А — {\, 2, 3, 4}.