§ 5. Объединение множеств и дизъюнкция предложений

Обратимся еще раз к игре с двумя обручами, изображенной на рисунке 2. Поставим еще один вопрос: «Какое множество блоков оказалось внутри хотя бы одного из двух обручей: красного или черного?» Этот вопрос сложный, так как характеристическое свойство этого множества требует применения союза или в неразде­лительном (соединительном) смысле, что вызывает затруднения не только у дошкольников.

Правильный ответ на поставленный вопрос может быть сфор­мулирован так:

Внутри хотя бы одного из двух обручей находится множество блоков, каждый из которых красный или круглый. Это множество состоит из всех красных некруглых, красных круглых и некрасных круглых блоков (изображенных соответственно областями (2), (1), (3) в диаграмме (рис. 2).

В общем виде это выглядит так:

Если множество А характеризуется свойством Р, множество В — свойством Q, то множество, состоящее из всех предметов, являющихся элементами хотя бы одного из этих двух множеств, характеризуется свойством «Р или Q».

Это множество называется объединением множеств А и В и обозначается символом «ЛиВ».

Итак, объединением А[}В двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В. Это можно записать (символически) так:

A\JB={x\xeA или хеВ), или через характеристические свойства множеств А и В

A U В = {х\Р{х) или Q(x)}.

Союз или понимается здесь в неразделительном смысле, т. е. каждый элемент объединения А\]В должен принадлежать хотя бы одному из множеств А, В, т. е. или А, или В, или обоим мно­жествам А и В.

Таким образом, если характеристические свойства множеств А и В выражаются с помощью предложений Р и Q соответственно, то характеристическое свойство объединения A\JB выражается пред­ложением «Р или Q», составленным из предложений Р и Q с по­мощью союза или, понимаемого в неразделительном смысле. Это предложение называется дизъюнкцией предложений Р и Q (от лат. disjunctio — разобщение, различие).

В обыденной речи союз или применяется в двух различных смыслах: неразделительном (соединительном), когда составное предложение, образованное с помощью этого слова, считается истин­ным, когда истинно хотя бы одно из составляющих предложений, и в разделительном, когда составное предложение считается истин­ным, когда истинно только одно из составляющих предложений, в этом случае иногда говорят «или.., или», «либо.., либо».

Зависимость истинностного значения дизъюнкции от истинностных значений составляющих предложений определяется неразделитель­ным (соединительным) смыслом союза или: дизъюнкция «Р или Q» истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из

составляющих ее предложений. Это можно записать в виде следую­щей истинностной таблицы:

р , Q ,Р или Q

и и и л

и и

Л

Л

и л и л

Таким образом, дизъюнкция «Я или Q» ложна в одном только случае, когда ложны оба составляющих предложения Р и Q.

В логике дизъюнкция обозначается знаком «V». ^т- ^е- вместо «Я или Q» пишут «Р\/Q».

Как будет показано дальше, в главе V, объединение множеств служит базой для обоснования операции сложения чисел.