§ 4. Пересечение множеств и конъюнкция предложений

Опишем игру с двумя обручами.

Размещают на плоскости два разноцветных обруча (допустим, красный и черный) так, чтобы они пересеклись (имели общую часть), и предлагают детям расположить блоки так, чтобы внутри красного обруча оказались, например, все красные блоки, а внутри черного — все круглые (рис. 2).Вначале некоторые дети до­пускают ошибки. Начиная за­полнять красный обруч крас­ными блоками, они могут рас­положить все эти блоки, в том числе и круглые красные, внечерного обруча. Затем все ос­тальные круглые блоки распо­красного обруча. В результатеобщая часть двух обручей может оказаться пустой.

Некоторые дети после постановки вопроса «Все круглые блоки внутри черного обруча?» замечают допущенную ошибку и перекла­дывают круглые красные блоки в общую часть двух обручей, объясняя, почему они должны лежать именно там (внутри красного обруча — потому что красные, внутри черного — потому что круг­лые) .

После выполнения практической задачи по расположению бло­ков дети отвечают на четыре стандартных для всех вариантов игры с двумя обручами вопроса: «Какие блоки лежат: 1) внутри обоих обручей; 2) внутри красного, но вне черного обруча; 3) внутри чер­ного, но вне красного обруча; 4) вне обоих обручей?» Следует подчеркнуть, что блоки надо называть здесь с помощью двух свойств — формы и цвета.

Отвлечемся теперь от описанной игры и рассмотрим ситуацию, изображенную на рисунке 2 в общем виде. В некотором (уни­версальном) множестве М выделены два подмножества: А — с по­мощью некоторого свойства Р, т. е. А — {х£М\Р (х)}, и В — с помощью свойства Q, т. е. B={x£M\Q (x)}. Эти два подмножества изобра­жены кругами.

Изображение множеств с помощью кругов было предложено выдающимся ма­тематиком Леонардом Эйлером (1707—1783). Поэтому такие круговые диаграммы называют кругами Эйлера, иногда'диаграммами Эйлера-Венна.

Общая часть множеств Л и В (рис. 2 {1)) представляет собой подмножество всех элементов из М, принадлежащих как А, так и В, т. е. обладающих обоими свойствами Р и Q. Это множество называется пересечением множеств А и В и обозначается А∩В

лпв.

Итак, пересечением двух множеств А и В называется мно­жество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству Л, и множеству В, т. е. их общая часть. Это можно записать символически так:

А{\В = ={х\х£А и х£В},

ЛПВ= = ={*|Р(х) и Q(x)).

Таким образом, если характеристические свойства множеств Л и В выражаются с помощью предложений Р и Q соответственно, "то^характеристическое свойство пересечения ЛПВ выражается пред­ложением «Р и Q», составленным из предложений Р и Q с помощью союза и. Это предложение называется конъюнкцией предложе­ний Р и Q (от лат. conjunctio — союз, связь).

Зависимость истинностного значения конъюнкции от истинно­стных значений составляющих предложений определяется обычным смыслом союза и: конъюнкция «Р и Q» истинна тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих ее предложения Р и Q. Это можно записать в виде следующей истинностной таблицы, даю щей истинностные значения конъюнкции при любых возможных ком­бинациях истинностных значений составляющих:

или через характеристические свойства множеств Л и В: ЛПВ ={*|Р(х) и Q(x)).

Р и Q

И

и л л

и

л л л

и л и л

В логике конъюнкция обозначается знаком «Л», т. е. вместо «Р и Q» пишут

Посмотрим теперь, какие же множества изображены областями (2), (3), (4) на диаграмме (рис. 2).

Нетрудно заметить, что область (2) изображает пересечение множества А с дополнением множества В, т. е.

(множество красных некруглых блоков, если возвратиться к опи­санной нами игре).

Аналогично область (3) изображает множество

(множество некрасных круглых блоков), а область (4) есть изобра­жение пересечения дополнений

(множесто некрасных некруглых блоков).

Описывая пересечение двух множеств, мы неизбежно пользуем­ся конъюнкцией предложений и, таким образом, вырабатываем у детей понимание смысла союза и в играх с двумя обручами.

Целесообразно проводить и такие варианты игры, в которых область (!) изображает пустое множество, т. е. А[\В=0. На­пример, если А — множество всех круглых, а В — множество всех треугольных блоков, то Af\B = 0, так как нет такого блока, кото­рый был бы одновременно кругом и треугольником.

Если А[)В=0, то множества А и В называются непересе­кающимися.

В дальнейшем будет показано, что непересекающиеся множества также находят применение в обучении дошкольников.