Глава VI. Геометрические фигуры

§ 1. Формирование понятия геометрической фигуры

Исторически понятие геометрической фигуры, так же как понятие натурального числа, было одним из исходных понятий математики. Как и натуральные числа, понятие геометрической фигуры образовалось с помощью абстракции отождествления, в основе которой лежит некоторое отношение эквивалентности. В дан­ном случае таким отношением является «сходство», «подобие» предметов по их форме, с помощью которого множество предметов разбивается на классы эквивалентности так, что любые два пред­мета одного класса имеют одинаковую форму, а любые два предме­та различных классов — различные формы. Абстрагируясь при этом от других свойств предметов (цвета, величины, материала, из кото­рого они сделаны, назначения и т. д.), мы получаем самостоя­тельное понятие геометрической фигуры.

В математике поступают и так: класс подобных по форме предметов определяется любым принадлежащим ему предметом и называется формой.

В связи с рассмотрением отношения эквивалентности (гла­ва IV, § 4) был приведен пример классификации блоков по их форме. Решая эту задачу, дети получают классы квадратных, круглых, треугольных и прямоугольных блоков, затем каждый из этих классов, так же как и отдельные их представители, называются соответственно квадратом, кругом, треугольником, прямоугольником. В основе выделения этих понятий лежит отношение эквивалентности

«иметь одинаковую форму».

В изучении геометрии, и в частности геометрических фигур,

различают несколько уровней мышления.

Первый, самый простейший уровень характеризуется тем, что геометрические фигуры рассматриваются как целые и разли­чаются только по своей форме. Если показать дошкольнику круг, квадрат, прямоугольник и сообщить ему соответствующие названия, 1 то после некоторого времени он сможет безошибочно распознавать } эти фигуры исключительно по их форме (причем еще не аиалиаиро-ванной), не отличая квадрат от прямоугольника. На этом уровне квадрат противопоставляется прямоугольнику.

На следующем, втором, уровне проводится анализ восприни­маемых форм, в результате которого выявляются их свойства. Геометрические фигуры выступают уже как носители своих свойств и распознаются по этим свойствам, свойства фигур логически еще не упорядочены, они устанавливаются эмпирическим путем. Сами фигуры также не упорядочены, так как они только описываются, но не определяются. Этот уровень мышления в области геометрии еще не включает структуру логического следования.

©писанные выше два уровня вполне доступны детям 4—6 лет, и это обстоятельство следует учитывать при составлении программ «Лучения и разработке методики.

Из чего состоит геометрическая фигура?

Всякая геометрическая фигура подразумевается состоящей из точек, т. е. всякая геометрическая фигура представляет собой множество точек, ъ том числе одну точку тоже принято считать

геометрической фигурой.

Поэтому операции над множествами и отношения между мно­жествами, рассмотренные в главе Ш, можно переносить на геомет­рические фигуры как на множества точек.

Например, на рисунке 11 изображены •всевозможные отношения, в которых могут находиться квадрат и круг:

/ — круг находится в квадрате;

— квадрат находится в круге;

— квадрат и круг пересекаются;

— квадрат и круг не пересекаются.

Предлагая детям располагать квадрат и круг всевозможными способами или нарисовать их и закрашивать общую часть (пе­ресечение) определенным цветом, тем самым помогаем им выявить особенности каждого из отношений, изображенных на рисунке И:

а) все точки круга являются точками -квадрата;

Рис. 11.

б) все точки квадрата являются также точками круга;

в) квадрат и круг имеют общие и необщие точки;

г) у квадрата и круга нет общих точек.

На предматематическом уровне дети знакомятся с простейши­ми, но наиболее . распространенными геометрическими фигурами: различными линиями, формами блоков — квадратом, кругом, тре­угольником, а также пятиугольником, шестиугольником. Строгих определений, разумеется, на этом уровне не дается.