§ 5. Отношение порядка

Среди рассмотренных выше (§ 2) примеров отношений имеются такие, как «меньше», «больше» между числами, «предшествует», «следует за» между точками прямой; «старше», «моложе» между людьми. Эти отношения являются антирефлексивными, асимметрич­ными и транзитивными.

Эти и подобные им, т. е. обладающие такими же свойствами,отношения принадлежат другому важному классу отношений, также находящих широкое применение, их называют отношениямипорядка. >i«;)

Всякое антирефлексивное, асимметричное и транзитивное отно­шение в некотором множестве А называется отношением порядка.

Иногда такое отношение называют отношением строгого порядка, чтобы отли­чить его от отношения нестрогого порядка, являющегося рефлексивным, антисим­метричным и транзитивным. >ч

Обратимся еще раз к примеру 2 (§ 2) отношения «меньше» в множестве Л = {1, 2, 3, 4).

Тот факт, что главная диагональ истинностной таблицы (идущая от левого верхнего угла к правому нижнему) содержит одни только Л, или ни одна вершина графа (рис. 6) не имеет петли, отражает свойство антирефлексивности отношения «меньше».

Если в одной клетке таблицы стоит И, то в симметричной ей относительно главной диагонали клетке стоит Л, или если от одной вершины графа к другой проведена стрелка, то от второй к первой стрелки нет. В этом отражается свойство асимметричности

отношения «меньше».

Более того, легко заметить, что любая клетка таблицы запол­нена (буквой И или Л), или любые две вершины графа сое­динены стрелкой. Это означает, что для любой пары (х, у)£А² различных чисел {хФу) либо х<у, либо у<х. В таком случае говорят , что множество А упорядочено отношением «меньше» и ^.записывается так, что на первом месте располагается имя элемента, ^; который меньше всех остальных, на втором — имя элемента, мень­шего остальных, кроме первого и т. д., т. е.

Л={1, 2, 3,.4}.

Таким же отношением «меньше» упорядочивается и множество всех натуральных чисел N={1, 2, 3, ...}, к изучению которого мы перейдем в следующей главе.

Исходя из такого интуитивного понимания упорядочивания мно-' жества е- помощью отношения порядка, приходим к следующему определению упорядоченного множества.

Множество А называется упорядоченным, если введено отно­шение порядка р — {Р, А, А) и для любой пары (х, у)£А², если хфу, то хру или урх (т. е. любые два различных элемента множе­ства А находятся в данном отношении порядка Р). В этом случае говорят также, что множество А упорядочено отношением порядка р.

Так, например, когда говорят «натуральный ряд чисел», имеют в виду множество N всех натуральных чисел, упорядоченное отно­шением порядка «меньше», т. е. N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Глава V. Числа

§ 1. Возникновение понятия натурального числа

Теоретические основы формирования элементарных математиче­ских представлений у дошкольников включают детальное изуче­ние лишь системы натуральных чисел. Поэтому, говоря здесь «чис­ла», мы имеем в виду натуральные числа.

К построению математических моделей явлений, основанному на отвлечений от всех свойств предметов, кроме их количествен­ных отношений и пространственных форм, человечество прибегало с первых шагов изучения окружающего мира. Одним из первых достижений на этом пути было возникновение и формирование по­нятия натурального числа. Оно появилось, по-видимому, на довольно .позднем этапе развития мышления, поскольку предпо­лагает уже способность к созданию и оперированию абстрактными понятиями.

В процессе практической деятельности люди пришли к абстраги­рованию такого общего свойства конечных множеств, каким является их численность. Чтобы усмотреть нечто общее между мно­жеством, состоящим из шести рыб, и множеством, состоящим из шести звезд, нужна уже высокая степень умения абстрагироваться от второстепенного, умение выделять главное. Этнографы нашли племена, в языках которых существует много видов числительных: числительные для множеств живых существ отличаются от числи­тельных для множеств плодов, орудий охоты и т. д. Однако на ранней стадии развития люди еще не могли достигать в рассужде­ниях достаточной степени общности и уровень абстрагирования еще не позволял формулировать общие свойства предметов, каким яв­ляется натуральное число, и тем более вводить для его обозначения специальные символы.

Процесс формирования понятия числа- был сложным и длитель­ным. На самом раннем этапе устанавливалась равночисленность различных множеств, общее же свойство равночисленных множеств еще не отделялось от конкретной природы сравниваемых мно­жеств. Например, знали, что два рыболова поймали поровну рыб, но не выражали этого каким-либо числом. В дальнейшем практика экономических и социальных взаимоотношений привела к необходи­мости выражать численность одних множеств уже через числен­ность других множеств, т. е. общее свойство равночисленное™ стало осознаваться как нечто отличное от конкретной природы са­мого множества, его элементов. Однако в качестве эталонов вы­ступают еще различные множества, состоящие из подручных пред­метов — эквивалентов равночисленности множеств предметов. Еще позже определенное множество, например пальцы на руках и ногах, начинают выступать в качестве своеобразного единствен­ного эталона количества, что позволило выделить общее свойство численности, отличное от всех особенных свойств множеств. Впослед­ствии общее свойство всех равночисленных множеств абстрагируется от самих множеств и выступает в «чистом виде», т. е. как абстракт­ное понятие натурального числа. Далее в качестве эталона числен­ности уже выступают сами натуральные числа, когда люди го­ворят не «рука яблок», а «пять яблок» (интересно, что в слове «пять» сохранилось воспоминание о «пясти» т. е. о ладони). И на­конец, происходит отвлечение от реально существующих ограни­чений счета и возникает понятие о сколь угодно больших числах, о больших натуральных числах. Возникает абстракция бесконеч­ного множества натуральных чисел. Объектом научного анализа становятся свойства элементор самого этого множества, в отвлече­нии от тех предметов, счет которых привел к созданию понятия числа. Возникает теория, описывающая систему чисел с ее свой­ствами и закономерностями.

Понятие числа, возникшее как математическая модель исчис­ления предметов, само становится основой для построения новых математических моделей. Хотя свойства чисел раскрываются в от­ношениях одних чисел к другим, но не в отношениях этих чисел к реальному миру, каждое свойство натуральных чисел допускает конкретную реализацию в виде свойства совокупностей реальных объектов. Это связано с тем, что свойства и отношения в множестве натуральных чисел являются отвлеченными образами свойств и отношений множеств, состоящих из конкретных предметов.

Как будет показано дальше (глава XI), процесс формирования представлений дошкольников о числе в известном смысле в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия.

В математике известны различные способы построения теории натуральных чисел. Мы' рассмотрим лишь основные идеи двух тео­рий натуральных чисел, количественной и порядковой, находящие отражение в формировании представлений о числе, счете и ариф­метических операциях.