7. Кореляційний аналіз

Коефіцієнт кореляції (r) вимірює ступінь і визначає напрямок прямолінійних зв'язків між ознаками. Для розрахунку коефіцієнта кореляції розроблено багато формул, однак всі вони дають практично однаковий результат. Застосування тієї або іншої формули залежить від технічних можливостей обчислювальної техніки.

Для розрахунку коефіцієнта кореляції найдоцільніше використання наступних формул:

1)

2)

де: V₁ та V₂ - варіанти (дати) першої і другої ознаки;

n - кількість порівнюваних пар або кількість особин, у кожної з яких виміряно по дві ознаки;

С₁, С₂, С₃ - дисперсії (суми квадратів) першої ознаки, другої ознаки і по ряду різниць між датам й порівнюваних ознак.

Алгоритм 3. Розрахунок коефіцієнта кореляціїза допомогою Майстра функцій

Крок	Назва операції
1	Ставимо курсор в клітинку, де планується отримати значення коефіцієнта кореляції: B29
2	Ставимо знак "=", потім на панелі стандартних інструментів натискаємо піктограму fx Вставка функции
3	Вибираємо категорію: Статистические
4	Вибираємо функцію: КОРРЕЛ, натискаємо ОК
5	Розкривається меню "КОРРЕЛ", в яке за допомогою курсору або ручним способом вводимо інтервал даних в Массив 1 [F2:F21) та в Массив 2 {G2:521). натискаємо ОК. Задаючи ці два масиви даних ми визначаємо коефіцієнт кореляції між надоєм та вмістом жиру в молоці дослідної груп корів. Аналогічно можна задавати масиви для Будь-яких ознак, між яким потрібно визначити коефіцієнт кореляції.
6	В клітинці B2S з'явився автоматично розрахований коефіцієнт кореляції 0.602

Алгоритм 4. Розрахунок коефіцієнта кореляції за допомогою Пакету аналізу

Крок	Назва операції
1	На панелі меню лівою клавішею миші розкриваємо меню: Сервис - Анализ данных
2	Після появи меню Анапиз данных, вибираємо: Инструменты анализа -корреляция, натискаємо ОК
3	Розкривається меню: Корреляция, де за допомогою лівої клавіші миші в Входные данные вводимо Входной интервал: $E$2:$J$21, далі відмічаємо: Группировка - по столбцам, Параметри вывода - новий рабочий лист, потім натиснути ОК
4	Якщо користувач бажає, щоб матриця розрахованих коефіцієнтів кореляції вміщувала назви ознак, то потрібно в Входные данные ввести Входной штереал: $E$1:SJ$21. потім відмітити: Группировка - по столбцам, активізувати: Метки в первой строке, далі аналогічно: Параметры вывода - новый рабочий лист, потім натиснути ОК
5	На новому аркуші з'являться розрахована матриця коефіцієнтів кореляції для всіх ознак (мал. 5, 6)

Малюнок 5. Розрахована за допомогою Пакету аналізу матриця коефіцієнтів кореляції без найменування ознак

Малюнок б. нозрахована за допомогою пакету аналізу матриця коефіцієнтів кореляції з позначенням назв ознак

Виходячи з того, що коефіцієнт кореляції є статистичною величиною, він має властивість репрезентативності. Тому вірогідність величини коефіцієнта кореляції розраховують за допомогою помилки репрезентативності.

Для вибірок, якщо n100 і при високому значенні коефіцієнта кореляції помилку коефіцієнта кореляції розраховують за формулами: або

де: r² - квадрат коефіцієнта кореляції;

N - чисельність вибірки (число пар значень, за якими розраховувався r).

Однак, перша формула може використовуватись лише у випадку, якщо попередньо, відома або припускається ступінь кореляції в генеральній сукупності.

Для вибірок, якщо n100 і виходячи з того, що у більшості біологічних досліджень значення коефіцієнта кореляції в генеральній сукупності не відомо, то помилка коефіцієнта кореляції розраховується за формулою:

Критерій вірогідності розрахованого коефіцієнта кореляції визначається за формулою:

Одержаний критерій вірогідності коефіцієнта кореляції з урахуванням числа ступенів свободи  порівнюємо зі стандартними значеннями критерій Ст'юдента (t_st) (додаток 1) і визначаємо рівень ймовірності.

При t>t^ коефіцієнт кореляції вірогідний і зв'язок між ознаками поширюється на всю генеральну сукупність. При t < t_st коефіцієнт кореляції невірогідний і не можна зробити висновок про існуючий зв'язок у генеральній сукупності.

ft. Регресійний аналіз

Коефіцієнт регресії (R) - величина, яка показує, наскільки змінюється в середньому ознака X, якщо корелююча з нею ознака У зміyюється на певну величину. Іншими словами, в біометрії регресію називають зміну функції в залежності від зміни одного або декількох аргументів. Функція - це ознака, яка залежить від іншої ознаки - аргументу.

З метою відображання регресії використовують:

1) емпіричний та теоретичний ряд регресії;

2) емпіричну та теоретичну лінію регресії;

3) коефіцієнт регресії;

4) рівняння регресії.

Коефіцієнт регресії має два значення: R_xy та R_xy. Формула коефіцієнта регресії включає в себе коефіцієнт кореляції та середні квадратичні відхилення двох ознак:

1)

2)

Добуток обох регресій дає величину квадрата коефіцієнта кореляції:

, тоді

Ці формули бажано використовувати для перевірки розрахованим величин регресії.

Помилки репрезентативності коефіцієнтів регресії обчислюються за формулами:

1) ;

2)

де: m_r - помилка коефіцієнта кореляції;

₁ та ₂- значення середніх квадратичних відхилень для кожної здвох корелюючих ознак.

Критерій вірогідності коефіцієнта регресії дорівнює критерію вірогідності коефіцієнта кореляції:

Далі можна розрахувати можливу максимальну похибку коефіцієнта регресії при прогнозуванні генерального коефіцієнта регресії:

Де: t₁- першмй поріг (рівень) ймовірності за таблицею Ст'юдента;

m_R - помилка коефіцієнта регресії.

Довірчі границі становитимуть:

1) ;

2)

Емпіричний ряд регресії - подвійний ряд цифр, що включає значення аргументу та відповідні середні значення функцій, отриманих у дослідженні. При графічному відображенні емпіричного ряду регресії аргумент відкладають по осі абсцис (Х), а функцію - по осі ординат (Y), в результаті ми отримаємо емпіричну лінію регресії.

Якщо регресія відображає прямолінійний тил зв'язку, то її рівняння може бути виражено рівнянням прямої:

де: y - шукана функція,

х - аргумент;

Ь - коефіцієнт, який виражає зв'язок між змінами функції при зміні аргументу х;

а - початкове значення у , коли х=0.

Excel дозволяє автоматично побудувати лінію регресії та розрахувати рівняння регресії. Коефіцієнт регресії у графічному вигляді значить тангенс кута нахилу прямої, що зображує зв'язок ознак у осях ординат, до осі абсцис. Для R_xy та R_yx кут нахилу може бути різним. При побудові теоретичної лінії регресії Excel по осі абсцис (X) відкладає величини аргументу (категорій), а по осі ординат (Y) величини функції (значень).

Для складання рівняння та побудови лінії регресії залежності висоти в холці (функція Y) від обхвату грудей (аргумент X) 20 чистопородних корів швіцької породи ДПЗ "Михайлівка" Сумської області скористаємось даними, які раніше наведені на малюнку 1.

Алгоритм 5. Обчислення рівняння регресії та побудова теоретичної лінії регресії

Крок	Назва операції
1	Відмічаємо дані, включаючи назву колонок
2	На панелі стандартних інструментів активізуємо (натискаємо) піктограмму Мастер диаграмм

3	Далее
4	Вказуємо джерело даних в діаграмі: Диапазон данных - ряды в столбцах, натискаємо: Далее
5	В параметрах діаграми пишемо її назву та назву осей: Заголовки –назєание диаграммы - ось Х (категорий) -ось У(значений), натискаємо: Далее
6	Вказуємо розміщення діаграми: Поместить диаграмму на листе имеющемся (або отдельном і натискаємо Готово
7	Діаграма з'являється у робочому вікні, її потрібно активізувати для редагування, натиснувши на ній лівою клавішею миші
8	В області побудови діаграми лівою клавішею миші активізуємо ряд даних, вони повинні висвітися
9	Натискаємо праву клавішу миші і після появи меню вибираємо: Добавить линию тренда
10	Вибираємо Лінію тренда: Тип - линейная: Параметры - название аппроксимирующей - автоматичаское. активізуємо: 1) показывать уравнеиие на дчаграмме, 2) поместить на диаграмму величину аппроксемирующей (R^2), натискаємо ОК.
11	На діаграмі з'являються: теоретична лінія регресії, рівняння регресії та R2.
12	Проводимо форматування діаграми, необхідного для наглядного оформленн результатів (мал. 7).

Малюнок 7. Автоматично розраховане рівняння регресії та графіч» зображення теоретичної лінії регресії

Так, якщо обхват грудей швіцьких корів складе 170,0 см, то висота в холці становитиме: у=0.2894*170+77,078=126,3 см.

Якщо обхват грудей швіцьких корів складе 220,0 см, тоді можна очікувати, що висота в холці становитиме: y=0.2894^«220+77,078=140,7 см.

Для обчислення критерія вірогідності середньої арифметичної однієї вибірки, критерія вірогідності різниці між середніми арифметичними двох вибірок, помилки та критерія вірогідності коефіцієнта кореляції, коефіцієнта регресії для двох ознак, помилки та критерія вірогідності коефіцієнта регресії, бажано на новому аркуші електронної таблиці Excel записати ці показники і ввести потрібні формули розрахунків у відповідні клітинки (мал. 8).

Малюнок 8. Критерії помилки та вірогідності біометричних показників і розраховані коефіцієнти регресії з довірчими інтервалами