16.2. Поняття збіжності і границі числової послідовності.

Знаходження границі числової послідовності можна розглядати як своєрідну арифметичну операцію – операцію граничного переходу. Це особлива операція. На відміну від звичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, здобування кореня) результат операції граничного переходу залежить від нескінченної кількості аргументів – елементів числової послідовності. Такі операції мають в математиці спеціальну назву: інфінітезимальні операції.

Означення. Число називається границею числової послідовності (або, інакше, числова послідовність збігається до числа ; ще інакше, елементи прямують до числа ) , що записується , якщо для будь-якого, як завгодно малого додатного числа існує такий номер , який, взагалі кажучи залежить від , починаючи з якого, тобто при , виконується нерівність .

Часто це означення записують у вигляді логічної формули з використанням логічних кванторів:

квантор загальності (читається „для всіх”, „для кожного”, „для довільного”),

– квантор існування (читається „існує”).

Формульний запис означення границі числової послідовності має вигляд:

.

Якщо послідовність має границю, вона називається збіжною, в іншому випадку – розбіжною.

Геометричний зміст означення збіжності полягає в тому, що елементи послідовності необмежено наближаються до своєї границі – числа : який би малий - окіл числа ми не взяли (тобто інтервал ), майже всі елементи послідовності (тобто всі, за виключенням, можливо, скінченної кількості) потрапляють у цей окіл. Це саме можна висловити ще й так: відстань між числом та елементами послідовності стає як завгодно малою при необмеженому зростанні .

Приклад. Послідовність . Очевидно, :

Є ситуації, коли існування та значення границі є очевидними, і строге дотримання всього формалізму не є доцільним і виправданим. Це стосується розглянутої послідовності , а також аналогічних послідовностей, загальний член яких, наприклад, є дробом зі сталим чисельником і необмежено зростаючим знаменником: . Трохи складнішими, але так само, очевидно, збіжними є такі послідовності, у яких загальний член є дробом з обмеженим чисельником і необмежено зростаючим знаменником, наприклад, .

Інколи виникає необхідність у порівнянні швидкості збіжності послідовностей. Наприклад, є дві послідовності, що мають одну і ту саму границю. Тоді швидкості збіжності можна порівняти, визначаючи для одного і того самого відповідні номери, починаючи з яких елементи послідовностей будуть потрапляти в -окіл границі: та з послідовностей збігається швидше, для якої відповідний номер менше.

Вправа. Для послідовності та для визначити найменший номер , починаючи з якого елементи послідовності потрапляють в -окіл числа 0.

В загальному випадку обчислення границь є достатньо складною справою. Складнощі виникають у ситуаціях, коли підлімітний вираз представляє собою невизначеність таких видів: . Загальний принцип – перетворити підлімітний вираз до такого вигляду, коли ситуація стає очевидною. Для цього треба, в першу чергу, використовувати тотожні алгебраїчні перетворення та найпростіші властивості операції граничного переходу. Допомагає встановлення самого факту збіжності; тоді, принаймні, можна, знаходячи значення елементів послідовності з достатньо великими номерами, приблизно визначити значення границі. Для обчислення деяких границь потрібні особливі, індивідуальні підходи. Такі границі називають особливими (чудовими) границями (див. п. 16.4).