14.3. Числова вісь та числові інтервали.

Множина дійсних чисел має властивість неперервності. Це взаємно однозначна відповідність між дійсними числами та точками числової прямої.

Головна задача математичного аналізу — дослідження функцій, тобто встановлення їх властивостей. При цьому трапляється так (і дуже часто), що ту чи іншу властивість функція має не на всій області визначення, а лише на її частині. Отже нам доведеться розглядати не тільки всю числову вісь і не тільки окремі числа, але і їх певні сукупності  числові множини.

Основні з них такі :

відкритий проміжок ( інтервал ) ; це сукупність чисел , для яких виконується нерівність

скорочено записують так

відповідне зображення на числовій осі  відрізок ab без кінцевих точок (позначається стрілками )

а b

x

замкнений проміжок ( сегмент )

Зображають на числовій осі відрізком ab ( якщо a=b, то  точкою a=b).

a b

x

напівінтервали, або напівзамкнені проміжки ( півсегменти або півінтервали)

зображають на числовій осі відрізком без однієї кінцевої точки

a b

x

a b

x

напівнескінченні проміжки

їх зображають так

a x

a x

x a

x a

Усю числову пряму, або множину дійсних чисел R, також вважають проміжком і позначають інтервалом .

Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа а називають саме це число, якщо воно додатне, і протилежне йому число – а, якщо число а від’ємне; запис: . Для будь-якого числа а його модуль дорівнює відстані між цим числом і початком координат:

Якщо а деяке дійсне число і (в,с) – деякий інтервал, що містить число а (тобто число а є внутрішньою точкою цього інтервалу), то такий інтервал можна розглядати як окіл числа а. Можна розглядати симетричний відносно а окіл, заданий нерівністю , де – деяке додатне число, тобто інтервал . Такий окіл називають -околом числа а.

ε—окіл числа a

14.4. Теореми Георга Кантора.

Наприкінці ХІХ століття математичний аналіз почав оперувати з найбільш загальним поняттям функції яке згодом сформувалось у поняття відображення однієї множини чисел в іншу. Це викликало необхідність у більш глибокому, якісно новому, погляду на числа. Дослідження в цьому напрямку ініціювали народження нового розділу математики – теорії множин. Одноосібним творцем цієї теорії став геніальний німецький математик Георг Кантор(1845 - 1918) . Природно, що першими розглядуваними множинами були саме множини чисел, а одним з найважливіших питань було порівняння множин за кількістю їх елементів. Повідомляючи про отримані результати своєму колезі, Кантор супроводив це такими словами: „Я це бачу, але я цьому не вірю”.

Якщо між елементами двох множин А і В можна встановити взаємно однозначну відповідність, то такі множини А і В називають рівнопотужними. Це означає, що кількість елементів у цих множинах однакова. Так, рівнопотужними є множини ℕ всіх натуральних чисел і ℕ₂ всіх парних натуральних чисел: взаємно однозначна відповідність задається правилом:

.

Так само легко встановити взаємно однозначну відповідність між множинами ℕ всіх натуральних і ℤ всіх цілих чисел.

Вправа. Довести рівнопотужність множин ℕ і ℤ.

Виявляється, що і всіх раціональних чисел стільки ж, скільки натуральних чисел. Множини, рівнопотужні з множиною натуральних чисел, називаються зліченними. Зліченність множини означає, що її елементи можна занумерувати (проіндексувати) натуральними числами, або, інакше, розташувати елементи множини у вигляді послідовності.

Перша теорема Кантора. Множина ℚ всіх раціональних чисел є зліченною множиною.

Д о в е д е н н я. Подамо всі раціональні числа таблицею:

...........................................................

Очевидно, що в цю нескінченну праворуч і вниз таблицю потрапляють всі раціональні числа. Для доведення теореми залишається вказати правило послідовного обходу всіх елементів цієї таблиці. Це правило задамо малюнком:

Обходячи раціональні числа по діагоналях, починаючи з лівого верхнього кута (кожна діагональ має скінченну кількість елементів, кожна наступна діагональ має на 1 елемент більше), ми за скінченну кількість кроків пройдемо через кожне з них і тим самим припишемо кожному раціональному числу відповідний натуральний номер, що й означає встановлення взаємно однозначної відповідності між множинами ℕ і ℚ.

Т е о р е м у д о в е д е н о.

Друга теорема Кантора. Множина ℝ дійсних чисел є незліченною.

Д о в е д е н н я. Застосуємо метод від супротивного. Припустимо, що множина ℝ є зліченною. Тоді, тим паче, зліченною буде і множина дійсних чисел з відрізку [ 0, 1], а, отже, всі числа з відрізку [ 0, 1] можна розташувати у вигляді послідовності:

.

Кожне число з відрізку [ 0, 1] можна подати десятковим дробом:

,

,

,

...........................................

Подальші міркування мають назву діагональний метод Кантора. Утворимо дійсне число , у якому цифру візьмемо будь-якою, але відмінною від , цифру візьмемо також будь-якою, але відмінною від , відмінною від і так далі. Утворене число а належить відрізку [ 0, 1], а, отже, має співпадати з одним з чисел . Але це неможливо: від першого числа число а відрізняється першою цифрою десяткового розкладу, від другого – другою, від третього – третьою і так далі від кожного числа. Таким чином, маємо протиріччя. Отже, припущення про зліченність множини дійсних чисел є невірним, тобто, множина ℝ незліченна.

Т е о р е м у д о в е д е н о.

Третя теорема Кантора. Множина чисел з відрізку [0, 1] взаємно однозначно відповідає множині точок квадрату зі стороною 1.

Д о в е д е н н я. Треба довести, що точок на одиничному відрізку рівно стільки ж, скільки точок в одиничному квадраті:

Застосуємо метод координат. Розташуємо одиничний відрізок і одиничний квадрат на координатній площині:

Нехай а довільна точка відрізку [0, 1]. Тоді . Утворимо два числа: одне з непарних цифр розкладу числа а, а інше – з парних:

,

.

Тоді точка A(p,q) належить одиничному квадрату.

Навпаки, візьмемо якусь довільну точку B(r,s) з одиничного квадрату. Координати r,s цієї точки є числами з одиничного відрізку, отже

,

.

Утворимо з цифр десяткового розкладу чисел r,s число . Утворене число належить відрізку [0, 1].

Виконані побудови – це правила, які визначають взаємно однозначну відповідність між одиничним відрізком і одиничним квадратом:

Т е о р е м у д о в е д е н о.