§ 15. Функції.

З iстоpiї pозвитку поняття функцiї . Поняття гpафiку функцiї, функцiональної та нефункцiональної кpивої. Елементаpнi опеpацiї i елементаpнi функцiї. Пеpетвоpення гpафiкiв (зсув, pозтягування, стискання). Дослiдження функцiй, схема дослiдження: область визначення, область значень, нулі, знакосталість, екстремуми (мiнiмуми, максимуми), монотоннiсть (зpостання, спадання), асимптоти, обмеженість, пеpiодичнiсть, паpнiсть, непаpнiсть. Визначення хаpакте­pистик функцiй за гpафiком.

15.1. Поняття функції.

Поняття функції є головним поняттям того розділу математики, який називають математичним аналізом, а систематичне і повне дослідження функцій є головною задачею математичного аналізу. Власне, математичний аналіз – це „скорочене” словосполучення математичний аналіз функцій. Зрозуміло, що поняття функції має свою особисту історію, цікаву і не зовсім мирну, зокрема у педагогічному аспекті. Один з найвидатніших і заслужено шанованих математиків ХХ століття Лев Семенович Понтрягін так коментує спробу надмірного абстрагування і узагальнення поняття функції у шкільних підручниках:

„Замість того, щоб сказати, що функція – це така величина „ігрек”,

значення якої можна знайти, знаючи значення незалежної змінної „ікс”,що записується у вигляді , і дати ряд прикладів функцій за допомогою формул, у шкільних підручниках це робиться набагато складніше: спершу вводиться поняття відношення між елементами двох різних множин, потім говориться, що при виконанні певних умов, накладених на це відношення, останнє стає функціональним відношенням, тобто визначає відображення однієї множини на іншу, що і є функцією”.

Спробу позбавити поняття функції істинного змісту вдалося вчасно зупинити. В сучасному шкільному підручнику означення функції виглядає так:

Залежність змінної у від змінної х називається функцією,

якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.

В цьому означенні, все ж таки, беручи до уваги рівень вищого навчального закладу, вимагає уточнення слово “відповідає”. Здійснюючи це уточнення, ми, фактично, повертаємось до означення функції, сформульованого М.І. Лобачевським:

Означення функції. Нехай є дві змінні величини . Величина називається функцією величини , якщо існує деякий закон (формула, правило, алгоритм), за яким для кожного можливого значення змінної можна визначити, і до того ж єдиним чином, відповідне значення змінної .

Запис: .

„Ім’ям” функції може бути будь-яка буква або навіть “ідентифікатор” (програмістський термін; означає: послідовність букв та цифр, що починається з букви) .

15.2. Дослідження функцій.

Дослідження функцій і математичний аналіз функцій – це синонімічні словосполучення, які означають з’ясування (встановлення) певних характеристик функції, якими є:

1. область визначення;

2. область зміни (значень);

3. нулі функції;

4. інтервали (проміжки) знакосталості;

5. екстремуми (мінімуми та максимуми) функції;

6. інтервали (проміжки) монотонності;

7. асимптоти (горизонтальні, вертикальні, похилі);

8. неперервність (розривність) функції;

9. періодичність (неперіодичність = аперіодичність) функції;

10. обмеженість / необмеженість (зверху, знизу);

11. парність або непарність або і не парність, і не непарність функції;

12) інші характеристики функції, встановлення яких вимагає конкретна задача.

15.3. Поняття графіку функції.

Чому “краще один раз побачити, ніж сто разів почути” ? Справа в тому, що від 80% до 90% інформації, яку отримує людина, становить зорова інформація. “Побачити” функцію “в цілому”, її динаміку (“поведінку”) дозволяє її графік.

Графіки функцій виконуються в декартовій системі координат (дві взаємно перпендикулярні числові осі зі спільним початком і правильно узгодженими напрямками – див. § 1).

Означення. Графіком функції називається множина точок координатної площини, першою координатою (абсцисою) яких є всі можливі значення аргументу , а другою координатою (ординатою)  відповідні їм значення функції .

Для графіка функції , зображеного на малюнку,

показані точки A(x₀,0), B(x₁,y₁), C(x₂,y₂).

Якщо графік функції накреслений, то відшукання її значення, відповідного заданому значенню аргументу, здійснюється так:

• відкладаємо значення аргументу на осі абсцис;

• з отриманої точки відновлюємо перпендикуляр до перетину з графіком функції;

• з точки перетину опускаємо перпендикуляр на вісь ординат.

Число, що відповідає отриманій точці на осі ординат, і є відповідним значенням функції.

Неформальна інтерпретація: змусимо аргумент функції “бігти” по осі ; тоді точка “побіжить” по координатній площині. Той “слід”, який вона при цьому залишить, і є графік функції.

Графік функції можна назвати графічним поданням функції.