20.2. Загальне поняття диференціального рівняння.

Означення.

Диференціальне рівняння – це рівняння, невідомою величиною в якому є функція, причому ця функція входить у рівняння разом зі своїми похідними і/або диференціалами.

Згадаймо: рівняння (взагалі) – це рівність, яка містить невідому величину, позначену буквою. Отже, диференціальне рівняння містить не тільки таку букву, скажімо y , а й разом з нею, наприклад, y ^/, y ^// , dy тощо.

Таким чином, диференціальні рівняння належать до загального класу функціональних рівнянь з невідомою величиною – функцією; з такими рівняннями ми вже зустрічались – це функціональні рівняння Коші: (див.§ 17):

В цих рівняннях невідома функція підпорядковується умові неперервності.

Зрозуміло, при знайомстві з новим і вельми непростим поняттям прагнення до максимальної загальності є недоцільним. Тому далі ми будемо обмежувати розгляд окремими, хоча й досить широкими і важливими у прикладному відношенні класами. Одним з таких класів є диференціальні рівняння, розв’язані відносно похідної, тобто рівняння вигляду

,

де – деяка задана функція.

Згадаємо, далі, (див.§ 18), що для похідної використовується ще й таке позначення: або, простіше, . До введення у § 18 поняття диференціалу функції це було формальним позначенням, після введення його можна розглядати вже як алгебраїчний дріб, з особливими чисельником і знаменником, і оперувати з таким дробом відповідним чином, правда, дуже уважно і обережно (див. далі п. 20.3).

Як завжди, важливими при розгляді рівнянь є питання існування і єдиності чи неєдиності розв’язку. Для рівнянь, розв’язаних відносно похідної, відповідь на ці питання дає

Теорема (про існування та єдиність розв’язку).

Якщо в рівнянні функція неперервна у прямокутнику

і задовольняє в цьому прямокутнику умову Ліпшиця

,

де L – деяка константа, то в деякому околі точки існує, і до того ж єдиний, розв’язок даного рівняння, який задовольняє початкову умову .

Невеличкий коментар до формулювання теореми. Всі вимоги, які забезпечують існування і єдиність розв’язку в цій теоремі, є суттєвими. З огляду громіздкість самого формулювання теореми, може виникнути відчуття, що доведення теореми є не простим. Це правильне відчуття. Але ми не будемо скочуватися у „кулінарні рецепти”. Перед доведенням – ще кілька пояснень щодо умови Ліпшиця. Ця умова є геометричною, вона задає межі зростання і спадання для можливого розв’язку рівняння в точці , точніше, вона не дозволяє графіку функції вийти за межі деяких вертикальних кутів з вершиною в точці :

Д о в е д е н н я. Настав час пригадати слова академіка, математика-прикладника, Крилова про те, що строгі доведення є знущанням логіки над розумом, а також думку академіка, математика і кібернетика, В.М. Глушкова про те, що, фактично, строгих доведень в математиці практично взагалі не існує. Теорема про існування і єдиність розв’язку диференціального рівняння – це як раз той випадок. Її строге доведення включає такі етапи, як використання ламаних Ейлера, тобто кусково-лінійних функцій, які наближують дану неперервну функцію, доведення збіжності послідовності таких функцій і доведення єдиності розв’язку методом від супротивного з використанням при цьому еквівалентного переходу від диференціального рівняння до інтегрального. Замість усього цього „страхіття” ми наведемо прості міркування, які, як нам здається, були первісними при народженні цієї теореми, і які, як ми сподіваємось, сформують відчуття впевненості у справедливості теореми та ще й, до того, викличуть почуття естетичного задоволення.

Почнемо з того, що згадаємо геометричний зміст похідної : – це кутовий коефіцієнт до графіку функції в точці . Отже, диференціальне рівняння дозволяє обчислити, не знаючи ще самої функції, кутові коефіцієнти до графіку функції у будь-якій точці, через яку графік, в принципі може проходити. Диференційовані функції – це гладкі функції з плавним, без загострень, графіком. Тому дотична до графіку, як лінійна функція, визначає поведінку самої функції в околі відповідної точки :

Чим меншим буде окіл, тим точніше буде дотична визначати поведінку функції, а в нескінченно малому околі – абсолютно точно! Це означає, що прямокутник, який фігурує в теоремі, можна вважати заповненим напрямками руху:

А тепер залучаємо до розгляду початкову умову

.

Нехай, для конкретності,

.

Уявімо себе маленькою точкою з координатами (3; 6). Ми починаємо відчувати невідому силу, яка спонукає нас зрушити у певному напрямку, це напрямок дотичної. Але як тільки ми робимо лише намір почати рух („мить перед підняттям ноги”), невідома сила майже непомітно, плавно, „натякає” на подальше відхилення від початкового напрямку; ми підкоряємось невідомій силі, і рушаємо, залишаючи траекторію:

Ця траєкторія, є графіком функції, яка, в свою чергу, є розв’язком диференціального рівняння.

Теорему доведено.