Приклад 1.

Приклад 2. Обчислюється аналогічно, з попереднім виділенням цілої частини підинтегральної функції

.

Приклад 3.

оскільки

Разом з найпростішими методами інтегрування і використанням таблиці інтегралів доцільно застосовувати будь-які перетворення, які спрощують підінтегральну функцію.

19.9.4.Метод заміни змінних (інтегрування підстановкою)

Метою методу підстановки є перехід від “старої” змінної х до нової змінної t для того, щоб скористатися головним правилом інтегрування. При цьому, як правило, важливо повернутися до старої” змінної х.

Приклад 4.

19.9.5. Метод інтегрування частинами

Інтегрування частинами застосовується в тому випадку, коли підінтегральна функція є добутком двох функцій, для однієї з яких явно видно первісну. Відповідна формула дозволяє “перекинути” похідну з цієї первісної на другий множник.

Отже,

Приклад 5.

Приклад 6.

Приклад 7.

§ 20. Дифеpенцiальнi piвняння.

Приклади диференціальних моделей динамічних процесів (диференціальні рівняння нормального розмноження і вибуху, диференціальна модель залежності між попитом та пропозицією, модель Лотка-Вольтерра системи “хижак-жертва”, диференціальні моделі бойових дій). Поняття диференціального рівняння. Основна теорема про існування та єдиність розв’язку диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними. Лінійні диференціальні рівняння. Значення диференціальних рівнянь для моделювання і аналізу (зокрема, на стійкість) динамічних процесів.

20.1. Диференціальні рівняння як математичні моделі динамічних процесів.

Ще й досі не закрите питання першості у відкритті диференціального числення: Ісаак Ньютон чи Готфрід Вільгельм Лейбніц. Те саме стосується і диференціальних рівнянь. Коли Ньютон надіслав у зашифрованому вигляді (анаграму) послання Лейбніцу про своє відкриття, той зміг розшифрувати його і відповів Ньютону, що це для нього не новина. Ньютону належить цікаве висловлювання, яке виглядає приблизно так: „Коли Господь Бог створював світ, Він формулював його закони мовою диференціальних рівнянь”. Знайомство з диференціальними рівняннями ми розпочнемо з прикладів того, як народжуються такі рівняння при математичному моделюванні динамічних процесів, тобто таких, які змінюються (протікають) у часі.

Приклад 1. Рівняння нормального розмноження.

Нехай є деяка біологічна популяція, яка існує в деякому середовищі з достатньою кількістю їжі й простору. Чисельність популяції (кількість особин) змінюється в часі, тобто є функцією часу. Нехай t є змінною часу, k(t) – чисельність популяції в момент часу t . Експериментально (дослідами і спостереженнями) встановлено, що за достатньо малий проміжок часу приріст популяції пропорційний її кількості у відповідний момент часу:

,

тут – деякий сталий коефіцієнт.

Чим менший проміжок часу будемо розглядати, тим точнішою буде ця рівність; абсолютна точність буде досягнуте в границі:

За встановленою математичною традицією невідомі величини найчастіше позначаються “х”. Так і в теорії диференціальних рівнянь. Крім того, похідну часто позначають не (позначення Лейбніца), а (позначення Ньютона). Отже, маємо диференціальне рівняння:

.

Приклад 2. Рівняння вибуху.

Вибух можна також розглядати як певний процес в популяції молекул. Але приріст популяції в даному випадку пропорційний не чисельності популяції, а кількості зустрічей представників цієї популяції, яка, у свою чергу, пропорційна кількості пар представників популяції, а отже, квадрату чисельності популяції (Вправа: обґрунтувати цей висновок за допомогою комбінаторики). Таким чином, маємо диференціальне рівняння:

.

Таким рівнянням можна описати не тільки фізичний, а й, наприклад, демографічний вибух.

Приклад 3. Рівняння розмноження за умов конкуренції.

В ситуації, коли існує обмеження на запас їжі, приріст чисельності має, так би мовити, дві протилежні тенденції: з одного боку, зберігається пропорційність приросту щодо чисельності і, водночас, з іншого боку, з’являється „антитенденція”, яка є наслідком конкуренції за їжу і яка конкретизується пропорційністю квадрату кількості. В результаті маємо рівняння:

Приклад 4. Ефективність реклами.

В деякий момент часу t у засобах масової інформації дається рекламне повідомлення про деяку продукцію. Далі інформація розповсюджується в процесі спілкування людей. Логічно (?) припустити Припускаємо, що швидкість зміни кількості ознайомлених з рекламою пропорційна як кількості x тих, хто знає про рекламовану продукцію, так і кількості N-x людей, які не знайомі з нею (тут N – загальна кількість покупців). Таким чином, отримуємо диференціальне рівняння:

Приклад 5. Попит і пропозиція.

Деякий фермер займається вирощуванням та продажем буряків. До свого бізнесу він залучив кума, який живе у місті, використовуючи його помешкання в якості сховища, до якого він щотижнево завозить чергову партію продукції. Величина партії – пропозиція – буде залежати як від очікуваної ціни , так і від очікуваної зміни ціни у подальшому – від так званої тенденції формування ціни, яка є похідною від ціни (по часу). Буряковий ринок є стабільним, світові економічні кризи проходять осторонь, і його розвиток визначає один з фундаментальних економічних законів: закон попиту і пропозиції. Він полягає у взаємному впливу попиту і пропозиції, результатом якого є встановлення рівноваги між ними і відновлення рівноваги у випадках можливих збурень. Якщо, наприклад, очікується падіння ціни, але в подальшому прогнозується її підвищення, то пропозиція буде стримуватися за умови перевищення очікуваного підвищення цін витрат на зберігання, і навпаки. При цьому порушення рівноваги призведе до збитків саме її порушника. Нехай р(t) – ціна, – тенденція формування ціни, q(t) – попит, s(t) – пропозиція, які для конкретного розглядуваного ринку знаходяться у таких співвідношеннях:

.

Закон рівноваги: q(t) = s(t) . Маємо диференціальне рівняння:

.

Приклад 6. Диференціальна модель „хижак-жертва” Лотка-Вольтерра.

Уявімо велику замкнену водойму („Чорне море”), у якій без втручання зовнішніх сил, насамперед „людини розумної” існують лише два види риб, назвемо їх умовно „тунцями” і „акулами” (або „карасями” і „щуками”). Перші харчуються планктоном, якого є в достатній кількості, а другі поїдають перших і іншої їжі не вживають. Позначимо відповідні кількості особин x(t) і y(t) . Якби не було „акул”, „тунці” підпорядковувались моделі нормального розмноження (приклад 1). „Акули” визначають тенденцію зменшення популяції „тунців” і ця тенденція пропорційна кількості можливих зустрічей „акул” з „тунцями” (як зустрілися, – і нема „тунця”), а ця кількість пропорційна добутку чисельностей популяцій (див. приклади 2, 3)

.

Щодо „акул”, то приріст їх чисельності антипропорційний чисельності (конкуренція за їжу), але пропорційний кількості зустрічей з „тунцями”:

.

Переходячи до границі по в кожному з рівнянь (з відповідним попереднім перетворенням), ми отримуємо математичну модель взаємодії двох популяцій у вигляді системи диференціальних рівнянь:

де .

Ця модель отримана при дуже сильному спрощенні реальної ситуації, тим не менше вона дозволила спрогнозувати вилови риби в Адріатичному морі і виробити оптимальну стратегію виловлювання.

Приклад 7. Диференціальна модель бойових дій.

Наведемо, тепер вже без пояснювальних міркувань щодо виникнення, математичну модель бойових дій двох протиборствуючих сторін. Ця модель, подібно до попереднього прикладу, також є системою диференціальних рівнянь:

тут x(t) і y(t) – чисельності сторін як функції часу, – сталі параметри, f(t), g(t) – спеціальні функції, які враховують різні військові фактори, зокрема, можливість підходу підкріплень.