19.3. Поняття визначеного інтегралу.

При формуванні означення визначеного інтегралу взято “за основу” формулу, що дає величину відстані, пройденої об’єктом при нерівномірному русі; ця ж формула визначає площу фігури, обмежену графіком швидкості та віссю часу, що є відповідно фізичним та геометричним змістом визначеного інтегралу.

Отже, нехай деяка функція визначена на проміжку числової осі.Розіб’ємо проміжок на n рівних між собою інтервалів .

Введемо позначення для точок розбиття:

.

Означення. Визначеним інтегралом функції в межах від до зветься величина

.

Суми, які ми бачимо у наведених виразах, мають назву сум Дарбу. З урахуванням того, що , про ці суми можна сказати, що вони є сумами нескінченно великого числа нескінченно малих величин.

Геометричне походження поняття визначеного інтегралу, пов’язане з площею відповідної криволінійної фігури, пояснює те, чому для позначення інтегралу обрано значок : він є трансформацією літери S, якою стандартно позначалась площа.

Приклад обчислення інтегралу за означенням наведено в п. 20.6.

Геометричний зміст визначеного інтегралу.

Якщо графік функції не перетинає вісь Ох, то визначений інтеграл чисельно дорівнює площі, яка відтинається графіком функції в межах між вертикалями та . Якщо графік функції перетинає вісь Ох, визначений інтеграл дорівнює алгебраїчній сумі відповідних площ, з яких розташована над віссю Ох береться зі знаком “+”, а під віссю Ох – зі знаком “-”.

В загальному випадку визначений інтеграл чисельно дорівнює алгебраїчній сумі площ криволінійних трапецій, що визначаються віссю та графіком функції між вертикалями та ; площа фігури, розташованої над віссю , береться зі знаком , під віссю — зі знаком  :

Фізичний зміст визначеного інтегралу: якщо функція – змінна швидкість руху (миттєва швидкість в момент часу x ), то – пройдений шлях при .

Поняття середнього значення функції.

На практиці середню температуру, наприклад, вимірюють так: через рівні проміжки часу протягом усього періоду вимірювання фіксують показання термометра, а потім суму отриманих значень ділять на іх кількість:

.

Зрозуміло, що чим більшою буде кількість зняття показань вимірювального приладу (але зроблених через рівні проміжки часу!), тим точнішим буде шукане середнє значення, і в принципі кожне таке значення є лише наближеним:

.

Принципово важливим є те, що інтервали між фіксацією значень є рівними: якщо весь період вимірювання є проміжком часу від до , то . Отже

.

Розглядаючи замість температури як змінної величини, залежної від часу, довільну функцію при і використовуючи фактично ті самі співвідношення, отримуємо поняття середнього значення функції:

.

Зробимо тотожнє перетворення підлімітного виразу: домножимо чисельник і знаменник на :

Отримано дріб, чисельник якого – границя суми добутків значень функцій у вузлових точках (точках подрібнення) на довжину відрізків подрібнення; знаменник – довжина розглядуваного інтервалу.

Загальне поняття тому і є загальним, що воно охоплює частинні випадки свого прояву, тобто узгоджується з конкретними поняттями, які представляють ці частинні випадки загального поняття, у даному випадку – середню температуру. Точно такі співвідношення ми отримали б, якби розглядали питання про середню швидкість нерівномірного руху. Але щодо середньої швидкості ми вже з’ясували фізичний і математичний зміст чисельника.

Точніше, нехай деякий об’єкт рухається протягом деякого відрізку часу із змінною швидкістю . Тоді пройдений шлях дорівнює відповідному інтегралові:

,

і, значить, середня швидкість буде дорівнювати відстані, діленій на час руху, тобто

.

Саме за такою формулою визначається поняття середнього значення функції.

Означення. Нехай — деяка функція і — деякий проміжок дійсної осі. Якщо визначена на і до того ж існує інтеграл , то середнім значенням функції на зветься величина

.