19.2. Деякі показові задачі.
19.2.1. Задача про середню швидкість.
Розглянемо дуже просту задачу, при розв’язанні якої 99% першокурсників – студентів нематематичних спеціальностей – роблять типову грубу помилку.
Нехай дехто мав проїхати 100км на велосипеді. 50км він їхав зі швидкістю 25 км/год, після чого щось сер’йозне сталося у задній втулці, і решту шляху (половину всієї відстані) довелося долати пішки зі швидкістю 5 км/год. Питання: якою була середня швидкість руху?
НЕПРАВИЛЬНЕ
РОЗВ’ЯЗАННЯ.
„Середнє
– це значить, що треба додати і поділити
навпіл. То ж, середня швидкість дорівнює
”.
ПРАВИЛЬНЕ
РОЗВ’ЯЗАННЯ.
Середня
швидкість руху тіла – це, за означенням,
така стала швидкість, рухаючись з якою
тіло пройде вказаний шлях за той самий
час, що і при нерівномірному русі.
Першу
половину шляху було подолано за час
год.,
другу половину – за час
год.
Загальний час руху
год.
Отже, середня швидкість становить
км/год.
Може виникнути така скептична думка: навіщо взагалі потрібна та середня швидкість, коли шлях вже пройдено? Ми не будемо обговорювати це питання, а поставимо інше: а що таке середня температура? Важливість цієї величини безсумнівна: вона характеризує кількість сонячної енергії, яку отримала дана місцевість, і обов’язково має бути врахована при, скажімо, проведенні сільгоспробіт або при плануванні на майбутнє потрібні об’єми енергоносіїв для опалювання приміщень (наприклад, приватного туристичного готелю). Як правильно здійснювати вимірювання і виконати обчислення? Уважний розгляд цього питання виведе нас на загальне поняття середнього значення функції , за допомогою якого ми дамо правильну математично обгрунтовану відповідь на сформульовані конкретні питання(див. п. 20.2).
19.2.2. Задача про пройдений шлях.
Останній поштовх для остаточного формування понять визначеного та невизначеного інтегралів дала задача про обчислення величини пройденого шляху об’єктом, що рухається нерівномірно. Розглянемо цю задачу.
Припустимо,
що ми спостерігаємо за рухом деякого
об’єкту. Якщо цей об’єкт рухається
прямолінійно і рівномірно (тобто не
змінюючи ані напрямку, ані швидкості
руху) із швидкістю
, то за час
він пройде шлях
. Якщо ж об’єкт рухається прямолінійно,
але не рівномірно, задача підрахунку
величини пройденого шляху суттєво
ускладнюється.
Отже,
нехай швидкість руху об’єкту є змінною
величиною, а точніше — функцією часу:
.
Припустимо, що об’єкт почав рухатись
з деякого моменту
і зупинився в момент
. Треба підрахувати відстань, яку об’єкт
пройшов за час
.
Для
розв’язання поставленої задачі
розглянемо графік залежності швидкості
руху від часу, тобто побудуємо графік
функції
в системі координат
.
Розіб’ємо
проміжок часу
на
рівних між собою інтервалів. Чим більше
число
, тим меншою буде різниця між значеннями
функції
в сусідніх точках
і
розглядуваного розбиття.
Отже,
можна вважати, що на проміжку
швидкість руху об’єкту є “приблизно”
однаковою:
при
.
За
цим припущенням можна приблизно оцінити
відстань
,
яку об’єкт пройшов в межах відрізку
часу
:
,
де
.
Підсумувавши
всі величини
,
ми дістанемо приблизну величину всього
пройденого шляху:
.
Точне
значення
буде досягнуто в границі:
.
З наведеного малюнку цілком зрозуміло також, що величина пройденого шляху чисельно (тобто без урахування одиниць виміру) дорівнює площі криволінійної фігури, що обмежена віссю Ot та графіком швидкості між вертикальними прямими, що відповідають моментам початку та кінця руху.
Аналогічні граничні суми, з’являються, наприклад, при обчисленні площі круга, довжини кола, об’єму кулі, площі сфери, об’єму конуса та циліндра.
Ситуація з отриманою величиною – цілком аналогічна тій, завдяки якій в математику було введено поняття похідної.
Цю величину з огляду на її важливість, в математиці розглядають як особливу, інфінітезімальну (аналогія з відповідним поглядом на обчислення границі, похідної), операцію над функціями; її названо визначеним інтегралом.