18.11. Таблиця похідних.

§ 19. Iнтегpал.

Історичний екскурс. Метод вичерпування. Задачі про середню швидкість, середню температуру та про пройдений шлях. Поняття визначеного інтегралу, його властивості та геометричний зміст. Фізичний зміст визначеного інтегралу. Строге означення поняття середнього значення функції. Поняття пеpвiсної функцiї та невизначеного iнтегpалу. Фоpмула Hьютона-Лейбнiца — основна теоpема дифеpенцiального i iнтегpального числення. Властивостi опеpацiї iнтегpування. Основні способи обчислення iнтегpалiв.

19.1. Метод вичерпування.

Фактично інтегральне числення існувало ще до нової ери. Знаменитий грецький вчений, найвидатніший інженер і винахідник усіх часів і народів, Архімед із Сіракуз (ІІІ ст. до н.е.), якому належать численні відкриття і, мабуть, не менш знаменитий, ніж він сам, вислів „дайте мені точку опори, і я зрушу Землю”, володів методом вичерпування, який фактично є тим, що тепер ми називаємо визначеним інтегралом. От як він за допомогою цього методу знаходив площу круга. Візьмемо круг деякого радіуса і розіб’ємо оточуюче його коло на деяку кількість рівних частин; кожну точку поділу сполучимо з центром кола і отримаємо однакових (рівних) рівнобедрених трикутників.

Усі ці трикутники мають однакову площу, а сума площ усіх трикутників приблизно дорівнює площі круга:

Площа одного маленького трикутника ; площа круга . Точніше, переходячи до границі:

.

В отриманій формулі – це сума основ усіх маленьких трикутників, яка при зростанні наближається до довжини кола , щодо якої вже встановлена (аналогічним способом) формула . Висота ж маленького трикутника , очевидно, наближається до радіуса кола . Таким чином

.

Отримано знамениту формулу площі кола:

.

Аналогічно можуть бути отримані формули для об’єму кулі і об’єму конуса. Значно пізніше, вже у середні віки з’явились підстави для введення згодом поняття невизначеного інтегралу. Це пов’язано в першу чергу з ім’ям великого Галілея („а все ж таки, вона обертається!”), який вивів формулу залежності шляху при рівноприскореному русі від часу у геометричній формі (1638 р.). У сімнадцятому ж столітті тодішні найвидатніші математики, в першу чергу, П’єр Ферма, фактично володіли правилами диференціального числення, не виділяючи їх як окремі алгоритмічні правила, тобто не відокремлюючи їх від конкретних розв’язуваних ними задач (так, як ми вже знаємо, основна теорема диференціального числення – теорема Ферма – була відкрита років за п’ятдесят до появи власне диференціального числення). Генії кінця сімнадцятого століття Ісаак Ньютон і Готфрід Вільгельм Лейбніц, ввівши й обгрунтувавши поняття похідної, встановивши зв’язок між операцією, оберненою до диференціювання, і невизначеним інтегралом, довівши основну теорему диференціального і інтегрального числення, упорядкувавши й доповнивши відомі на той час факти з зазначеної математичної царини, завершили багатовікові зусилля по створенню основного розділу математичного аналізу, який саме з цього часу повноправно став називатися диференціальним і інтегральним численням. Зазначимо, що Ньютон і Лейбніц цілком усвідомлювали значущість свого відкриття. Про це свідчить, наприклад, назва праці, у якій Лейбніц виклав результати своїх досліджень: “Новий метод для максимумів і мінімумів, а також для дотичних, для якого не є перешкодою дробові і ірраціональні кількості, й особливий вид числення для цього”.