18.7. Логарифмічна похідна.

Таку назву носить правило обчислення похідної від функції, що має вигляд степеня, де і основа, і показник є функціями від x :

.

Нас цікавить вираз для похідної . Для його знаходження прологарифмуємо наведене вище рівняння:

.

Тепер продиференціюємо ліву і праву частини цього рівняння:

,

Використовуючи правила диференціювання (які ?), отримаємо:

,

звідки, остаточно:

.

18.8. Основні теореми диференціального числення.

Подібно до основних теорем про неперервні функції (див. § 17) ми подаємо у вигляді теорем основні властивості похідної без повних грунтовних доведень, не доцільних у нашій ситуації. Призначення цих теорем – обгрунтування диференціального числення як коректної, внутрішньої несуперечливої алгоритмічної системи. Тому теореми ми супроводжуємо не доведенням, а побажаннями, по-1-е, спробувати побачити їх геометричний зміст, а по-2-е, звернутись при необхідності до відповідних фундаментальних джерел.

Теорема Ферма. Нехай функція визначена в деякому проміжку і у внутрішній точці цього проміжку набуває найбільше (найменше) значення. Якщо існує двостороння скінченна похідна в цій точці, то необхідно .

Теорема Дарбу. Якщо функція має скінченну похідну в проміжку , то функція набуває на проміжку всі значення між і .

Теорема Ролля. Нехай функція визначена і неперервна на замкненому проміжку та має скінченну похідну принаймні на відкритому проміжку . Якщо , то на проміжку знайдеться точка , така що .

Теорема Лагранжа. Нехай визначена і неперервна на замкненому проміжку та має скінченну похідну принаймні на відкритому проміжку . Тоді на проміжку знайдеться точка , така що

, або, інакше, .

Наслідок 1. За умов теореми Лагранжа функція є сталою величиною на проміжку тоді і тільки тоді, коли при всіх .

Наслідок 2. Нехай кожна з функцій і задовольняє умови теореми Лагранжа. Тоді ці дві функції різняться на проміжку лише на деяку сталу величину в тому і тільки в тому випадку, коли при всіх , тобто

.

18.9. Диференціал функції.

До поняття диференціалу функції треба обов’язково повернутись при вивченні поняття інтегралу.

Диференціал функції – це ще один крок у сутність нескінченності, це більш глибокий, уважний і пильний погляд на похідну. Згадаємо означення: похідна – це границя відношення приросту функції до приросту аргументу при прямуванні приросту аргументу до нуля. Значить, з похідною пов’язаний процес : процес прямування приросту аргументу до нуля – процес „зникання” приросту аргументу. При цьому одночасно „зникає” і приріст функції, і швидкість зникання приросту функції зрівняна зі швидкістю зникання приросту аргументу. Інакше кажучи, приріст аргументу і приріст функції, в процесі їх зникання, є нескінченно малими величинами одного (однакового) порядку малості. А тепер придивимось ще пильніше до величини приросту функції.

x

Зробимо ще один крок назад і повернемось до витоків поняття похідної, тобто залучимо до розгляду дотичну до графіку функції у відповідній точці.

Дотичну можна розглядати як графік лінійної функції , де . А тепер порівняємо прирости і при одному і тому самому приросту аргументу :

З малюнку видно, що і є близькими за своїми значеннями величинами. І не просто близькими, а нескінченно малими величинами одного порядку малості:

.

Таким чином, якщо розглядати, як особливі, „зникаючі”, ”нескінченно малі” величини, приріст аргументу і відповідні йому прирости відповідних функцій і , то приріст можна назвати головним лінійним членом приросту функції . А тоді похідна може розглядатися вже не як граничне значення, а як просто відношення головного лінійного члену приросту функції до приросту аргументу . І якщо ввести додаткові позначення:

,

то тоді будемо мати співвідношення:

.

Величину названо диференціалом функції . Тоді, чисто формально, , а, отже, остаточно:

.