§ 18. Похiдна.
Теоpема Феpма як “пpедтеча” дифеpенцiального числення. Iсаак Hьютон i Готфpiд Вiльгельм Лейбнiц — ствоpювачi дифеpенцiального i iнтегpального числення. Поняття похiдної, її геометpичний змiст. Технологія знаходження і аналіз точок екстремуму функцій. Похiдна як опеpацiя i як функцiя. Найпростіші властивостi похiдної. Похiдна складеної функцiї. Похiдна оберненої функцiї. Логаpифмiчна похiдна. Обчислення похiдних елементаpних функцiй. Основні теореми диференціального числення (теорема Ферма, теорема Дарбу, теорема Ролля, теорема Лагранжа та її наслідки). Поняття диференціалу функції.
18.1. Теорема Ферма.
Похідна – головне поняття диференціального числення, яке, разом з інтегральним численням, було створене математичними (і не тільки) геніями Ісааком Ньютоном і Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем протягом приблизно 1660 – 1680 рр. Стисла і влучна характеристика диференціального числення, його сутності дана Лейбніцем у назві свого твору: ” Новий метод для максимумів та мінімумів, а також для дотичних, для якого не є перешкодами дробові та ірраціональні кількості, й особливий вид числення для цього.” Але, що цікаво, основна, можна сказати, “першоджерельна” теорема диференціального числення була відкрита років, принаймні, за 30 до його появи. В цій теоремі можна легко вбачити як саме поняття похідної, так і її головну роль у відщуканні екстремумів функцій. Автор цієї теореми – П’єр Ферма.
Теорема Ферма народилась з геометрично очевидного факту:
Дотична до графіку функції
В точках мінімуму чи максимуму
Паралельна осі абсцис.
Це твердження потребує уточнення. Поняття дотичної до графіку функції дещо відрізняється від, наприклад, “шкільного” поняття дотичної до кола і має так званий локальний характер.
Означення . Пряма l зветься дотичною до графіка функції y=f(x) в точці (x0, f(x0)), якщо існує такий (прямокутний) окіл цієї точки x0-xx0+, f(x0)-yf(x0)+, всередині якого графік функції і пряма мають одну-єдину спільну точку.
Дотична – це пряма лінія. За положення прямої лінії відносно осі абсцис “відповідає” кутовий коефіцієнт. Залишається навчитися обчислювати кутовий коефіцієнт дотичної за формулою, якою подана відповідна формула. Тут на допомогу приходить поняття границі і граничного переходу, а також ще одне нескладне спостереження: дотична до графіка функції y=f(x) в точці (x0, f(x0)) є граничним положенням січної, що проходить через дану точку (x0,f(x0)) і біжучу точку (x0+h , f(x0+h)), коли біжуча точка необмежено близько наближається до даної точки (тобто коли h).
Припустимо, що функція задана аналітичною формулою і – деяка точка з області визначення. Складемо канонічне рівняння січної:
,
після перетворення цього рівняння в рівняння з кутовим коефіцієнтом маємо:
.
Якщо січна у своєму граничному положенні однозначно займає місце дотичної, що еквівалентно існуванні границі
,
то ця границя дасть значення кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції y=f(x) в точці (x0,f(x0)).
Приклад.
Знайдемо
дотичну до графіку функції
в точці
:
Січна:
.
Січна
дотична
:
.