Розділ ііі.

„Не можна сумніватися ані в істині того, що все у світі може бути подано числами, ані в справедливості того, що будь-яка зміна в ньому і відношення виражаються аналітичною функцією”. Ці слова належать нашому геніальному співвітчизнику Миколі Івановичу Лобачевскому (1792 - 1856), відкривачу неевклідової геометрії, за законами якої (а не за законами Ньютона), як тепер встановлено, побудований наш безмежний Всесвіт. Велич Лобачевського ще й у тому, що він не побоявся відкрито оголосити свої неприйнятні для багатьох і багатьох висновки, чого не зміг зробити славетний і легендарний король математиків Гаус, який за деякими свідченнями відчував те, що ясно побачив своїм розумом Лобачевський.

Математичний аналіз – це аналіз, тобто дослідження, функцій – встановлення властивостей і характеристик функцій. З вищою математикою пов’язана та частина математичного аналізу, основу якої складає диференціальне і інтегральне числення.

Загальний принцип бачити за фігурами числа, а за числами фігури суттєво використовується і в математичному аналізі. Геометричну картину функціональних залежностей дають графіки функцій, вони характеризують в цілому поведінку і динаміку функцій. Автору у своїй практиці часто доводилось спостерігати, як хтось, здавалося б, досить вправно володіє технікою аналізу: бере перші і другі похідні, застосовує теорему Ферма для знаходження екстремумів і проміжків монотонності і т.п., але стає безпомічним при побудові графіка. Без перебільшення можна сказати, що такі знання є мертвими і такій людині можна лише поспівчувати.

§ 14. Числа і числові множини.

Основні види і відповідні множини чисел: натуральні, цілі, раціональні, дійсні. Ірраціональність числа . Дійсні ірраціональні числа як нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Числова вісь та числові інтервали. Модуль дійсного числа. Дійсні числа як точки числової осі та їх околи. Теореми Георга Кантора про числові множини. Алгебра множин. Діаграми Ейлера-Венна.

14.1. Основні види чисел.

Основними видами чисел ми називаємо натуральні, цілі, раціональні і дійсні числа. Кожний вид чисел узагальнює попередній, тобто включає в себе як частинний випадок. Це означає, що відповідні числові множини утворюють ланцюжок, який розширюється (в розумінні включення множин):

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

ℕ – множина натуральних чисел,

ℕ (натуральний ряд чисел);

ℤ – множина цілих чисел,

ℤ

ℚ – множина раціональних чисел,

ℚ ={ ℤ }

ℝ – множина дійсних чисел.

Множина дійсних чисел складається з раціональних та ірраціональних чисел. При цьому, ірраціональних чисел незрівнянно більше, аніж раціональних. Це ми побачимо за допомогою теорем Кантора. Спочатку обґрунтуємо існування ірраціональних чисел.

14.2. Ірраціональність числа .

Число – це цілком „реальне”, тобто реально існуюче, число. Випливає це із знаменитої теореми Піфагора:

Прямокутний рівнобедрений трикутник з катетами довжиною 1 легко побудувати, наприклад циркулем і лінійкою. Його гіпотенуза має довжину . Таким чином, – це конструктивне число. Але воно не є раціональним числом, тобто не може бути подано у вигляді , де p і q деякі натуральні числа. Доведемо це методом від супротивного. Припустимо, що = , де p і q деякі натуральні числа. З огляду на основну властивість дробу, дріб можна вважати нескоротним( тобто p і q не мають спільних множників).

За означенням кореня, маємо

або p² =2q² ,тобто p  парне число ( оскільки квадрат його парне число), p= 2p₁, p₁ℕ.

Тоді ( 2p₁)² =2q² або q=2q₁, тобто q  парне число: q=2q₁, q₁ℕ.

Отже, дріб  скоротний, що суперечить умові.

Таким чином, наше припущення було невірним і не є раціональним числом.

На практиці, зокрема, у комп’ютерних розрахунках, використовуються десяткові числа. Ірраціональне число не може бути подане скінченим або нескінченним періодичним дробом. Але ірраціональні числа можуть бути наближені з необхідною точністю скінченими десятковими дробами. Покажемо, як це зробити, на прикладі добування квадратного кореня з 2; для простоти обмежимося лише додатними значеннями кореня. Для кожного додатного раціонального числа x виконується лише одна з нерівностей

x²<2 або x²>2

Очевидно, що 1²<2, 2²>2.

Розглянемо числа 1,0; 1,1; 1,2; ... 1,8; 1,9; 2.0 і знайдемо два сусідніх з них такі, що квадрат першого є менший, ніж 2, а квадрат другого  більший, ніж 2.

Маємо: ( 1,4 )² < 2, ( 1,5 )² > 2.

Далі розглянемо числа 1,40 1,41 1,42 ... 1,49 1,50 і знову знайдемо сусідню пару з них, яка задовольняє вказану умову: (1,41)² <2, (1,42)² >2 .

Аналогічно, продовжуючи цей процес, отримаємо послідовність нерівностей:

1² < 2 < 2²

(1,4)² < 2 < (1,5)²

(1,41)² < 2 < (1,42)²

(1,414)² < 2 < (1,415)²

(1,4142)² < 2< (1,4143)²

............

Зауважимо, що вказані тут десяткові дроби можна отримати за відомим алгоритмом добування квадратного кореня, добуваючи з будь-якою наперед заданою точністю.

Співставляючи спочатку цілі частини, потім перші, другі, треті і т.д. цифри після коми у раціональних чисел, між квадратами яких лежить 2, ми можемо послідовно виписати ці десяткові знаки :

1,41421... .

Продовжуючи цей процес необмежено, отримаємо в результаті нескінченний десятковий дріб, який не може бути періодичним, оскільки не є раціональним числом.

Цей нескінченний неперіодичний дріб, довільне число десяткових знаків якого ми можемо виписати, але для якого не можна здійснити одночасного запису всіх знаків, і приймається за число, яке рівне .

Можна прийняти таке означення: ірраціональне число -- це довільний нескінченний неперіодичний десятковий дріб виду , де А ціле число,  цифри.

Задане нескінченним неперіодичним дробом ірраціональне число  визначає дві послідовності скінчених десяткових дробів, які називаються десятковими наближеннями  з недостачею та з надлишком, наприклад, наведені вище наближення для .

Можливість подання ірраціональних чисел все більш і більш точними десятковими наближення покладена в основу порівняння ірраціональних чисел між собою, ірраціональних та раціональних чисел, а також в основу означення арифметичних дій над ірраціональними числами.