Вопросы к пятому модульному контролю

1. Числовой ряд; сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Примеры.

2. Простейшие свойства рядов. Критерий Коши сходимости ряда.

3. Признак сравнения положительных рядов. Примеры.

4. Признак сравнения в предельной форме. Примеры.

5. Радикальный признак Коши. Примеры.

6. Признак Даламбера. Примеры.

7. Интегральный признак Коши – Маклорена. Примеры

8. Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной сходимости.

9. Признак Лейбница. Примеры.

10. Признак Дирихле. Примеры.

11. Признак Абеля. Примеры.

12. Перестановка членов абсолютно сходящего ряда.

13. Перестановка членов условно сходящего ряда (теорема Римана).

14. Произведение абсолютно сходящихся рядов.

15. Произведение рядов по Коши. Теорема Мертенса.

16. Поточечная и равномерная сходимость. Геометрический смысл равномерной сходимости. Примеры.

17. Равномерная сходимость и непрерывность.

18. Равномерная сходимость и интегрируемость.

19. Равномерная сходимость и дифференцируемость.

20. Равномерная сходимость функциональных рядов. Sup – критерий.

21. Мажорантный признак Вейерштрасса. Примеры.

22. Свойства равномерно сходящих функциональных рядов.

23. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Следствие.

24. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши – Адамара. Примеры.

25. Вторая теорема Абеля. Следствие.

26. Аналитические свойства степенных рядов. Пример.

27. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора.

28. Условия разложимости в ряд Тейлора.

29. Разложения в ряд Тейлора функций e^x, Sin x, Cos x, Ln(1+x).

30. Разложения в ряд Тейлора функции (1+x)^λ.

Вопросы к шестому модульному контролю

1. R^p как метрическое пространство. Неравенство Коши-Шварца.

2. Сходимость последовательности точек в R^p .

3. Топология пространства R^p (Окрестности точки. Открытые множества. Предельные точки множества. Замкнутые множества. Внутренние, внешние и граничные точки множества. Точки прикосновения множества. Связные множества. Области.)

4. Теорема Больцано - Вейерштрасса. Компактные множества. Критерий компактности в R^p .

5. Функции нескольких переменных. Предел функции в точке.

6. Повторные пределы. Примеры. Теорема о повторных пределах (для функции двух переменных).

7. Непрерывность функции. Непрерывность композиции.

8. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях.

9. Теорема о промежуточных значениях.

10. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.

11. Частные производные. Связь с непрерывностью функции.

12. Дифференцируемость функции f: R^p --> R. Дифференцируемость и частные производные.

13. Достаточное условие дифференцируемости (непрерывность частных производных).

14. Дифференциал. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Касательная плоскость.

15. Производная сложной функции.

16. Производная по направлению. Градиент. Экстремальное свойство градиента.

17. Теорема о совпадении смешанных производных (теорема Шварца).

18. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

19. Необходимое условие экстремума.

20. Достаточное условие экстремума (функция двух переменных).

21. Дифференцируемость вектор - функции.

22. Обобщения формулы Лагранжа.

23. Теорема об обратном отображении.

24. Теорема о неявной функции (одномерный случай).

25. Условный экстремум. Геометрическое доказательство в R³ .

26. Необходимое условие условного экстремума (метод множителей Лагранжа).

27. Интеграл с параметром. Непрерывность.

28. Интеграл с параметром. Дифференцируемость. Формула Лейбница.

29. Интеграл с параметром. Интегрируемость.

30. Равномерная сходимость несобственного интеграла.

31. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла.

32. Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла.

33. Признак Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла.

34. Непрерывность несобственного интеграла по параметру.

35. Теорема об интегрировании по параметру в несобственном интеграле.

36. Теорема о дифференцировании по параметру в несобственном интеграле.

37. Гамма-функция. Элементарные свойства.

38. Основные формулы для гамма - функции.

39. Бета-функция.

40. Применение гамма – функции и бета – функции к вычислению интегралов.

41. Вычисление интеграла Дирихле.