Вопросы к третьему модульному контролю

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Элементарные свойства интеграла.

2. Замена переменной в неопределенном интеграле. Примеры.

3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Основные случаи применения.

4. Метод переноса.

5. Интегрирование простейших рациональных дробей I, II и III типов.

6. Интегрирование простейших рациональных дробей IV типа.

7. Теорема о разложении правильной рациональной дроби (формулировка).

8. Метод неопределенных коэффициентов (на примере).

9. Метод Остроградского.

10. Интегрирование дифференциальных биномов.

11. Подстановки Эйлера при интегрировании квадратичных иррациональностей.

12. Универсальная тригонометрическая подстановка.

13. Подстановки t=sin x, t=cos x, t=tg x в тригонометрических интегралах.

14. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение интеграла Римана.

15. Элементарные свойства определенного интеграла.

16. Необходимое условие интегрируемости. Пример (функция Дирихле).

17. Суммы Дарбу. Свойства 1-4.

18. Суммы Дарбу. Свойство 5 (лемма Дарбу).

19. Критерий Дарбу.

20. Первое достаточное условие интегрируемости.

21. Второе достаточное условие интегрируемости.

22. Третье достаточное условие интегрируемости.

23. Аддитивность определенного интеграла. Ориентированный интеграл.

24. Интегрирование неравенств.

25. Оценка абсолютной величины интеграла.

26. Первая теорема о среднем. Следствия. Пример.

27. Свойства интеграла с переменным верхним пределом.

28. Формула Ньютона-Лейбница.

29. Вторая теорема о среднем.

30. Первая теорема о замене переменной в определенном интеграле.

31. Вторая теорема о замене переменной в определенном интеграле.

32. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

33. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Вопросы к четвёртому модульному контролю

1. Определение и свойства площади плоской фигуры.

2. Первый критерий квадрируемости.

3. Второй критерий квадрируемости.

4. Вычисление площади криволинейной трапеции.

5. Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрической кривой.

6. Вычисление площади сектора в полярных координатах.

7. Определение и свойства объёма тела. Критерий кубируемости.

8. Объем тела вращения.

9. Нахождение объёма тела по его сечениям.

10. Определение и вычисление длины кривой.

11. Частные случаи формулы длины кривой (явное задание, полярные координаты).

12. Дифференциал длины дуги. Длина дуги как параметр.

13. Определение и вычисление площади поверхности вращения. Частные случаи.

14. Определение и вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой. I теорема Паппа-Гюльдена. Примеры.

15. Определение и вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры. II теорема Паппа-Гюльдена. Примеры.

16. Несобственный интеграл I рода: определение, элементарные свойства, примеры. Формула Ньютона-Лейбница.

17. Критерий Коши для несобственного интеграла I рода.

18. Простой и предельный признаки сравнения для несобственного интеграла I рода.

19. Признак Дирихле для несобственного интеграла I рода.

20. Признак Абеля для несобственного интеграла I рода.

21. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Интеграл Дирихле.

22. Интегрирование по частям и замена переменной в интеграле первого рода.

23. Несобственный интеграл II рода: определение, элементарные свойства, примеры.

24. Сведение интеграла II рода к интегралу I рода.

25. Функции с ограниченной вариацией на отрезке. Определение. Свойства.

26. Представление функции с ограниченной вариацией в виде разности двух монотонных функций.

27. Классы функций с ограниченной вариацией.

28. Интеграл Стилтьеса: определение, элементарные свойства, примеры.

29. Интегрирование по частям в интеграле Стилтьеса.

30. Достаточные условия интегрируемости по Стилтьесу.

31. I теорема о вычислении интеграла Стилтьеса.

32. II теорема о вычислении интеграла Стилтьеса.

33. Физический и геометрический смысл интеграла Стилтьеса.