Вопросы к первому модульному контролю

1. Операции над множествами и их свойства.

2. Аксиомы множества R. Следствия.

3. Представление действительных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Числовая прямая.

4. Понятие функции. Способы задания функции.

5. Ограниченные множества в R, точные верхние и нижние грани. Теорема существования sup E.

6. Свойства конечного супремума (инфимума).

7. Теорема Кантора о последовательности стягивающихся отрезков.

8. Счетные множества, их свойства, примеры.

9. Несчетность отрезка [0;1].

10. Свойства несчетных множеств. Примеры множеств мощности континуума.

11. Точки прикосновения, их классификация. Примеры.

12. Открытые и замкнутые множества, их свойства.

13. Компактные множества. Теорема о бесконечном подмножестве компактного множества. Следствие (теорема Больцано - Вейерштрасса).

14. Компактные множества. Теорема Гейне-Бореля.

15. Предел последовательности. Геометрический смысл определения. Примеры.

16. Единственность предела последовательности. Ограниченность последовательности. Необходимый признак сходимости.

17. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между бесконечно большими и неограниченными последовательностями.

18. Теорема о промежуточной переменной для последовательностей. Следствие.

19. Признак Вейерштрасса для последовательностей.

20. Число e.

21. Предел суммы и произведения последовательностей.

22. Предел частного последовательностей.

23. Предельный переход в неравенствах.

24. Частичные пределы. Теоремы Больцано - Вейерштрасса для последовательностей.

25. Критерий Коши для последовательностей.

26. Отображения, операции над ними. Простейшая классификация функций.

27. Предел функции в точке: определения Коши и Гейне, их равносильность.

28. Необходимый признак сходимости и теорема о промежуточной переменной для предела функции.

29. Критерий Коши для предела функции.

30. Односторонние пределы функции. Признак Вейерштрасса.

31. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

32. Первый замечательный предел. Следствия.

33. Второй замечательный предел. Следствия.

34. Сравнение бесконечно малых. Свойства символа "o".

35. Таблица эквивалентных бесконечно малых. Использование эквивалентности при нахождении пределов. Некоторые полезные пределы.

Вопросы ко второму модульному контролю

1. Три определения непрерывности. Геометрический смысл. Примеры.

2. Непрерывность сложной функции. Примеры.

3. Точки разрыва, их классификация. Теорема о точках разрыва монотонной функции.

4. I и II теоремы о промежуточных значениях.

5. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции (включая лемму).

6. I теорема Вейерштрасса.

7. II теорема Вейерштрасса.

8. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

9. Степенная функция с рациональным показателем.

10. Показательная функция и ее свойства.

11. Непрерывность простейших элементарных функций.

12. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной.

13. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику.

14. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости.

15. Необходимое условие дифференцируемости. Пример. Правосторонние и левосторонние производные.

16. Производная суммы, разности, произведения, частного.

17. Производная композиции и обратной функции.

18. Таблица основных производных (вывод).

19. Дополнительные методы дифференцирования.

20. Первый дифференциал и его свойства. Инвариантность формы первого дифференциала.

21. Производные высших порядков, их простейшие свойства, примеры.

22. Формула Лейбница. Примеры.

23. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы.

24. Параметрическое задание функции и её дифференцирование.

25. Лемма Ферма и теорема Ролля.

26. Теоремы Лагранжа и Коши.

27. I и II теоремы Лопиталя. Примеры.

28. Многочлен Тейлора.

29. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

30. Разложение по формуле Тейлора функций y=e^x, y=sin x, y=cos x.

31. Разложение по формуле Тейлора функций y=(1+x)^k, y=ln(1+x).

32. Формула Тейлора с остаточным членом в оценочной форме. Формы Лагранжа и Коши.

33. Исследование на монотонность по первой производной.

34. Исследование на экстремум по первой и высшим производным.

35. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Примеры.

36. Исследование на выпуклость по 2-ой производной.

37. Исследование на перегиб по 2-ой и высшим производным.

38. Асимптоты. Общая схема исследование функции и построение графика. Пример.