8 Взаємний перетин поверхонь

8.1 Загальні відомості про взаємний перетин поверхонь

Будь-яка річ, предмет, технічна деталь, виріб предметного світу, в якому живе і працює людина, є поєднанням різноманітних геометричних поверхонь. Таке поєднання слід розуміти, передусім, як перетин поверхонь тіл: циліндрів, конусів, сфер, пірамід, призм та інших гранних та кривих поверхонь та їх комбінацій.

Перетин поверхонь між собою приводить до утворення ліній – кривих чи прямих, які є геометричним місцем точок, спільним для обох поверхонь. Ці лінії називаються лініями взаємного перетину або лініями переходу. Для побудови лінії перетину потрібно відшукати такі точки, які належали б одночасно двом заданим поверхням, що перетинаються. З’єднавши ці точки в певній послідовності, одержимо шукану лінію перетину.

Лінії взаємного перетину можуть бути плоскими і просторовими.

При перетині гранних поверхонь, лінії перетину мають ряд замкнутих ламаних ліній. Побудова цих ліній зводиться до пошуку точок перетину ребер одного многогранника з гранями другого і ребер другого з гранями першого.

Лініями перетину двох кривих поверхонь є, здебільшого, просторові криві. Якщо перетинаються гранна поверхня з кривою, лінія перетину має форму кривої ламаної. Крива лінія ламається в точках на ребрах багатогранника.

Д ля визначення точок, які належать лінії перетину поверхонь тіл застосовують метод посередників. Посередником може бути площина або сфера (спосіб площин і спосіб сфер). Спосіб допоміжних площин (рис.8.1) є універсальний і може успішно використовуватися в більшості випадків. Деколи, при взаємному перетині поверхонь обертання, більш простий розв’язок може дати спосіб сфер.

Рисунок 8.1 ― Визначення точок, які належать лінії перетину двох поверхонь

методом допоміжних площин

8.2 Спосіб допоміжних площин

Алгоритм розв’язку задачі на визначення лінії перетину двох поверхонь  і ∆ такий:

1. вводимо допоміжну січну площину , яка перетинає кожну із заданих поверхонь  і А по найбільш простих і вигідних для побудови лініях l і t;

2. визначаємо ці лінії перетину;

3. знаходимо точки (або N точок) перетину побудованих ліній.

К_і = l × t

Виконуючи зазначені побудови N разів, дістанемо проекції точок, які належать одночасно двом поверхням, що перетинаються. З’єднавши ці точки в певній послідовності, дістанемо шукану лінію перетину.

На рисунку 8.2 показано застосування допоміжних горизонтальних січних площин при побудові лінії перетину конуса з циліндром. Пошук точок лінії перетину поверхонь слід насамперед починати з опорних точок, оскільки вони дають змогу визначити кількість і положення посередників для точної побудови лінії перетину.

Окрім опорних точок, необхідно відшукати, якщо це можливо, ще й інші характерні точки кривої перетину, наприклад, найближчу і найдальшу, крайню зліва, крайню справа, точки найбільшої випуклості, точки, які дають границю видимості кривої тощо.

Точки 1 і 2 є, відповідно, найнижчою і найвищою точкою. Лінії перетину лежать на перетині очеркових ліній циліндра і конуса на p₂. Точки 5 і 6 відносяться до точок найближчої і найдальшої, а також є точками найбільшої випуклості і границями видимості лінії перетину на горизонтальній площині проекцій.

Н а рис. 8.2 показано побудову точок 4 і 3 лінії перетину на епюрі і на наочному зображенні. Допоміжна горизонтальна січна площина  перерізає конус по колу, а циліндр по двох твірних. Твірні і коло легко будуються на площині p₁, де і визначаємо точки 3₁ і 4₁, за якими знаходимо точки 3₂ і 4₂.

Рисунок 8.2 ― Побудова лінії перетину конуса з циліндром способом допоміжних площин

Задача 1. Побудувати проекції лінії перетину призми та прямого кругового конуса (рис. 8.3).

Розв’язок задачі подано на рис. 8.3а,б,в,г в поетапному розв’язку, починаючи з умови задачі (рис. 8.3а). У даному випадку лінія перетину буде складною. Вона складатиметься з кола, яке одержимо від перетину верхньої грані призми і конуса (рис. 8.3б) і двох парабол, що будуть мати спільні точки 9 і 10 (рис. 8.3г). Вершини параболи будуть точками 3 і 4, пошук яких показано на рис. 8.3в.

Для розв’язування цієї задачі і знаходження точок лінії перетину застосуємо допоміжну горизонтальну січну площину . Така площина перетинає призму прямокутником, а конус ─ колом (рис. 8.3). Це добре видно з наочного зображення для побудови точок 5, 6, 7, 8 за допомогою площини . За аналогією введемо ще одну січну площину  і знайдемо точки, які будуть належати лінії перетину. З’єднуємо у певній послідовності побудовані точки і дістаємо лінію перетину цих двох поверхонь – дві параболи, по яких бічні грані призми перетинають поверхню конуса.

а)

б)

Рисунок 8.3

в)

в)

г)