1. Рівномірний розподіл

Розподіл справедливо для тих випадків, коли випадкова подія лежить у певному тимчасовому інтервалі, причому її поява в будь-який момент часу є рівноймовірною.

Наприклад, відомо, що поїзди метро прибувають на станцію регулярно з інтервалом Т. Необхідно визначити закон розподілу часу очікування t_оч= х, якщо пасажир виходить на перон у довільний момент часу. У цьому випадку очевидно, що сприятлива подія (відправлення поїзда) розподілено рівномірно на тимчасовому інтервалі Т і щільність розподілу постійна f(x)=const на всій ділянці чинності закону від  до  (рис.1а).

а б

Рис. 1. Щільність (а) та функція (б) розподілу випадкової величини з рівномірним законом розподілу.

Оскільки подія свідомо відбудеться на інтервалі часу Т, то її ймовірність дорівнює 1. Звідси легко визначити щільність розподілу і побудувати інтегральну функцію розподілу (рис. 1б):

^; .

Математичне чекання випадкової величини, що має рівномірний розподіл, визначається за формулою (5) або ж як абсциса центра ваги фігури, наведеної на мал. 1а.

.

Дисперсія визначається відповідно до формули (7):

Слід відзначити, що дисперсія зростає пропорційно квадрату інтервалу, на якому можлива поява випадкової величини.

2. Показовий розподіл випадкових величин

Цей розподіл дотепер є одним з найпоширеніших у техніці завдяки своїй простоті й приблизній відповідності розподілу відмов складних багатоелементних систем. Вважається, що середній наробіток до відмови елементів технічних систем Т₀ розподілений за показовим законом.

Накопичення відомостей про особливості функціонування різних технічних систем приводить до застосування для їх опису надійності інших законів, які більш точно відбивають реальний розподіл, але разом з тим є більш складними у обчисленні.

Функція розподілу показового закону (рис. 2) записується в наступному вигляді:

. (11)

Закон справедливий для х0 і залежить тільки від одного параметра – , фізичний зміст якого є інтенсивність відмов елементів (величина, що є зворотно пропорційною Т₀).

Рис.2. Функція розподілу показового закону випадкової величини

Для визначення щільності показового розподілу випадкової величини слід взяти похідну виразу (8), і отримаємо функцію, що монотонно убуває.

. ⁽¹²⁾

Для визначення математичного чекання слід проінтегрувати по частинах вираз

,

причому и = х; dv = .

Тоді

du=dx, v=-e^-x,

. (13)

Примітка. При підстановці нижньої та верхньої меж у вираз одержуємо 0, тому що при вираз збігається до нуля. Аналогічно визначається дисперсія показового розподілу:

(14)

Порівнюючи вирази (13) і (14), неважко помітити, що D[x]=(M[x])². Ця властивість показового розподілу часто використовується в якості грубої оцінки можливості його застосування для експериментально отриманого розподілу.

3. Розподіл Вейбулла

Останнім часом при вивченні надійності часто зустрічається розподіл Вейбулла. Функція розподілу Вейбулла записується у наступному вигляді:

. (15)

Вона справедлива для х>0 і залежить від двох параметрів –  і . В окремому випадку для =1 розподіл Вейбулла переходить у показовий. Графік щільності розподілу Вейбулла для випадку =1 наведений на рис. 3. З рисунка видно, що розподіл істотно залежить від значення параметра .

Рис. 3. Графіки щільності розподілу Вейбулла при різних значення параметру .