Дисципліна: „Надійність і діагностування світлосигнального обладнання аеродромів” Лабораторна робота №1

Експериментальне дослідження основних законів розподілу випадкових

величин, що застосовуються в теорії надійності

Мета лабораторної роботи – експериментально дослідити основні закони розподілу випадкових величин, що застосовуються в теорії надійності – показовий та нормальний розподіли, розподіл Вейбулла та Пуассона з різними значеннями параметрів.

Основні теоретичні відомості

Випадковою вважається подія, появу якої не можливо точно спрогнозувати. При кількаразовому повторенні вона щораз протікає по-своєму та може приводити до різних результатів

Випадковою подією є відмова будь-якого виробу, причому час від початку роботи до моменту відмови – Т₀ є випадковою величиною.

Випадковою величиною називають таку величину, яка в ході досліду може прийняти будь-яке, заздалегідь невідоме, значення.

Вивчаючи знос виробів, знаходячи нові критерії оцінки їх стану, можна навчитися прогнозувати моменти відмов, точніше, інтервали часу, коли очікується відмова всього виробу. Однак відмови окремих елементів були й залишаються випадковими подіями, для оцінки яких і розроблено математичний апарат теорії надійності.

Вивчаючи статистику відмов досить великої кількості однотипних виробів, можна прогнозувати їх поводження в загальній масі і підрахувати ймовірність відмови кожного зі зразків у певний період часу. Імовірнісна оцінка не дає можливості врахувати індивідуальні особливості кожного з виробів, але при великій кількості однотипних виробів за допомогою імовірнісних характеристик можна досить точно судити про їх властивості в загальній масі, прогнозувати загальну кількість відмов.

Імовірність випадкової події А визначається відношенням числа благополучних випадків m до їх загального числа n причому благополучним випадком є той, що спричиняє появу події.

Властивості випадкових величин описуються за допомогою законів розподілу, під якими розуміють будь-яке співвідношення, що встановлює взаємозв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями. Ці залежності можна представити у вигляді таблиць, графіків або аналітичних функцій.

Нехай Х – деяка випадкова величина. Тоді функцією розподілу F(x) випадкової величини X називається функція

F(x) = P (X < x).

Таким чином, значення функції розподілу в точці х₀, дорівнює ймовірності того, що випадкова величина прийме значення, що є меншим ніж х₀.За допомогою функції розподілу можливо знайти ймовірність того, що випадкова величина потрапить до заданого проміжку:

Р (<х<) = Р() - Р ().

Статистична щільність розподілу випадкових величин знаходиться за формулою:

(1)

де N – загальна кількість випробуваних елементів;

n – кількість елементів, що припадають за своїми значеннями на ділянку x.

Якщо в результаті математичної обробки ряду випробувань одержимо графік щільності розподілу випадкової величини f(x), то тим самим ми повністю опишемо її властивості. Так, для знаходження ймовірності появи величини в деяких межах або ймовірності того, що випадкова величина прийме значення в деяких межах (наприклад, від  до ), досить визначити площу під кривою f(x), обмежену зазначеними межами, інакше кажучи, взяти інтеграл .

Крім щільності розподілу випадкової величини будують, також, функцію розподілу (закон розподілу в інтегральній формі):

(2)

Кожна точка закону розподілу показує, яка ймовірність того, що при випробуваннях випадкова величина буде мати значення, менше або рівне абсцисі х.

Функція та щільність розподілу випадкової величини найбільш повно описують її властивості, дозволяючи визначити ймовірність її появи на будь-якій ділянці, але далеко не завжди є можливість знайти закони розподілу.

Оскільки закономірності поводження випадкової величини можна виявити тільки при масових випробуваннях (при малому об'ємі випробувань випадкові відхилення можуть повністю спотворити закон розподілу), а для проведення таких випробувань потрібні більші витрати коштів та часу без видимої віддачі, то часто обмежуються визначенням характерних параметрів законів розподілу. Їх називають числовими характеристиками випадкових величин.

Найбільш застосовуваною і важливою числовою характеристикою є математичне чекання випадкової величини, або її середнє значення. Для дискретних випадкових величин математичне чекання заходиться як сума добутків можливих значень випадкової величини на ймовірності їх появи:

. (3)

Для безперервної випадкової величини математичне чекання визначається через щільність розподілу f(x) за формулою:

(4)

В якості числових характеристик використовують також такі поняття, як мода та медіана.

Модою називають випадкову величину, значення щільності ймовірності (або ймовірності) якої є максимальним.

Медіаною (Me) називають таке значення випадкової величини, для якого рівно ймовірно, чи виявиться випадкова величина більше або менше медіани:

Р(х>Me) = P(x<Me).

Для опису властивостей випадкових величин часто використовуються моменти. Розрізняють початкові моменти _s[x], що обчислюються щодо осі ординат, і центральні моменти _s[x], що обчислюються щодо осі, що проходить через математичне чекання випадкової величини, за наступними формулами:

; (5)

(6)

Ступінь s називають порядком моменту. Найбільш важливими є перший початковий момент (математичне чекання випадкової величини) і другий центральний момент , який називають дисперсією і позначають як D[x].

Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно її математичного чекання. Мале значення дисперсії говорить про те, що щільність розподілу випадкової величини має яскраво виражений максимум і більшість її значень групується поблизу математичного чекання.

Величина, яка дорівнює кореню квадратному з дисперсії, є середньоквадратичним відхиленням випадкової величини від її математичного чекання, і позначається як :

(7)

Для оцінки математичного чекання будь-якого закону розподілу випадкової величини можна використати наступну формулу:

^, (8)

де – значення випадкової величини, отримані в п дослідах.

Оцінка називається незміщеною, якщо математичне чекання оцінки збігається з оцінюваним параметром. Оцінка називається спроможною, якщо при нескінченному збільшенні числа спостережень вона сходиться до оцінюючого параметра по ймовірності. Оцінка називається ефективною, якщо вона якомога ближче відповідає оцінюючому параметру, і ймовірність більших помилок буде мінімальною. Для досягнення цієї мети вимагають, щоб величина М[х* – х]² була мінімальною.

При емпіричній оцінці параметра дисперсії за допомогою виразу

⁽⁹⁾

буде одержано оцінку ефективну, але зміщену. Для незміщеної оцінки необхідно користуватися наступною формулою

. (10)

Обидві оцінки дисперсії є спроможними.

Для ряду випадкових величин заздалегідь відомі закони, яким вони підпорядковуються, точніше загальний вид розподілу. У цьому випадку точний опис розподілу випадкової величини не вимагає складних численних дослідів і побудови всієї функції розподілу. Необхідно тільки визначити параметри закону – постійні коефіцієнти, що входять до її аналітичного виразу – і задача визначення закону розподілу буде виконана.

Розглянемо ряд законів розподілу.