1.2.1.3. Параметрическая функция плоскости

Параметрическая функция плоскости , заданной точкой р_о и направле­ниями линейно независимых векторов

имеет следующий вид:

Условие линейной независимости направляющих векторов эквивалентно усло­вию их непараллельности

Параметрическая форма удобна для задания как всей бесконечной плоскости, так и ее полубесконечных и конечных частей.

Например:

бесконечные интервалы не ограничивают протяжен­ность бесконечной во всех направлениях плоскости;

задание бесконечного и полубесконечного интервалов опре­деляет полуплоскость, находящуюся от прямой по одну сторону с век­тором W;

1.2.1.4. Уравнения плоскости, проходящей через три точки

Неявная форма уравнения плоскости, проходящей через три точки

выводится из условия принадлежности плоскости этих точек и точ­ки

Выбрав направляющие векторы плоскости , получим пара­метрическую модель плоскости, проходящей через три точки:

Условие существования плоскости следующее: Это означает, что три точки не должны лежать на одной прямой.

Функция позволяет вычислить ориентацию точки р относительно плоскости . При точка р лежит в положительном полупространстве, откуда обход тре­угольника {abca} выполняется против часовой стрелки.

Ниже рассматриваются свойства многогранников (полиэдров), обусловленные ориентацией векторов нормалей к их граням. С учетом принятого соглашения, внешняя ориентация нормалей к граням полиэдра обеспечивается при обходе его граней против часовой стрелки, если смотреть на каждую грань из внешнего полупространства.

1.2.1.5. Уравнения плоскости в отрезках

Неявное уравнение плоскости в отрезках h_x, h_y и h_z, одновременно не равных ну­лю и отсекаемых плоскостью на осях х, у и z

имеет вид

Выбрав на плоскости точки

получим ее направляющие векторы

получим пара­метрическую модель плоскости, проходящей через три точки:

1,2.1.6. Модели линии в пространстве

Линия в пространстве имеет одну степень свободы и является либо пересечением двух поверхностей, либо кинематическим следом движения некоторой точки в пространстве. Соответственно, имеем две формы модели пространственных линий:

Неявная форма требует решения системы нелинейных уравнений относительно координат х, у, z точки р и для практического применения неудобна. Парамет­рические функции прямой линии в пространстве в векторном виде полностью совпадают с видом в R²:

. В координатном виде они дополняются аппликатами

. Получим уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей .

В неявной форме плоскости заданы векторами = Прямая их пересечения имеет неизвестные элементы р_о и V. Для их нахождения запишем систему двух уравнений плоскостей