1.1.1.3. Параметрическая функция прямой

Параметрическая функция прямой {р_о, V}, проходящей через точку р_о в направле­нии вектора V, и эквивалентное ей уравнение в НФ будут иметь вид:

где \- Параметрическая форма удобна для задания и построения час­тей прямой — отрезков и лучей. Для этого в (1.14, а) необходимо указать преде­лы изменения параметра /. Например:

□ бесконечный интервал не ограничивает протяженность бесконеч­ной прямой;

задание t > 0 дает луч, выходящий из точки р_о в бесконечность в направлении вектора V;

конечный интервал определяет отрезок прямой между точками

Благодаря левой ориентации направляющего вектора V относительно вектора нормали N, эквивалентная нормальной форме функция

позволяет определить положение точки относительно направления движения по прямой:

при точка а лежит справа, так что угол положительный;

при f(b)<0 угол отрицательный, а точка b лежит слева от прямой.

1.1.1.4. Уравнения прямой, проходящей через две точки

Неявная форма уравнения прямой, проходящей через две точки и , выводится из условия принадлежности прямой этих то­чек и точки

Выбрав направление движения по прямой от точки а к точке b, получим направ­ляющий вектор V=b-a и параметрическую модель линии:

или

Условие существования прямой очевидное:

При изменении параметра от t = 0 до t = 1 движение точки происходит внутри отрезка ab от точки а до точки b.

1.1.1.5. Уравнения прямой в отрезках

Неявное уравнение прямой в отрезках h_x и h_y, одновременно не равных нулю и отсекаемых прямой на осях х и у (рис. 1.3, г), получим из уравнения при D = -1 с учетом соотношений

Выбрав на прямой две точки , получим ее направляющий вектор и координатные параметрические функции прямой в отрезках:

1.1.2. Взаимное положение графических элементов на плоскости

1.1.2.1. Коллинеарность точек

Три точки , коллинеарны, т. е. лежат на одной прямой

или обобщение на произвольное число точек

:

Точка р лежит на отрезке ab при нулевом угле между векторами р-а и b-p:

Значение параметра t, соответствующее положению точки на прямой относительно ее отрезка ab, вычисляется с помощью скалярного произ ведения

Взаимное расположение прямых

Две прямые совпадают , если

Две прямые параллельны , если

Расстояние между параллельными прямыми равно

Две прямые ортогональны если

1.1.2.3. Взаимное расположение точки и прямой

Уравнения перпендикуляра, опущенного из точки q = [g_x q_y]на прямую, заданную в НФ или ПФ , выглядят следующим образом

Расстояние от точки q до прямой равно:

Зеркальное отражение точки q от прямой лежит на перпендикуляре к прямой на расстоянии 2d от q в сторону, противоположную проекции вектора q-po на нормаль N

1.1.3. Квадратичные и параметрические кривые

Кривые второго порядка (квадратичные кривые) на плоскости описываются ко­ординатным уравнением в НФ

f(x, у) = Ах² + By² + 2Еху + 2Gx + 2Jy + D = 0

или в векторном виде

Вектор нормали к кривой в точке р_о вычисляется путем диффе­ренцирования

Для любой квадратичной кривой три величины

не изменяющими значения относительно невырож­денных преобразований переноса и вращения.

Число

есть полуинвариант относительно преобразования вращения. Знание легко вы­числяемых инвариантов и полуинварианта позволяет быстро определить тип и каноническое уравнение кривой по уравнениям и таблицей

Параметрическая форма как самая гибкая и универсальная наиболее распро­странена для описания и построения геометрических объектов благодаря разно­образию выбора функций, задающих движение точки по направлениям ее степе­ней свободы. Параметрическая функция p(t) квадратичной кривой может быть получена следующими способами.

□ Заменой аргументов л: и у канонического уравнения из табл. функциями одного параметра (например t) на основе известных тождеств

Простейший пример— окружность единичного радиуса. Ее каноническое уравнение допускает подстановку

□ Суперпозицией одновременных движений точки вдоль координатных осей

из заданного начального положения. Например, сложение гармонических коле­баний по осям координат , записываемое в векторной форме как

дает вращение точки по окружности единичного радиуса из начального по­ложения х(0) = 1, у(0) = 0 Направление) вектора скорости

о ртогонально влево от вектора c(t) соответствует вращению точки против часовой стрелки

.

□ Фигуры Лиссажу образуются суперпозицией разночастотных колебаний вдоль ортов СК:

ф игура, построенная при в ин­тервале изменения параметра

□ Спиральные кривые описываются моделью и образуются враще­нием точки по дуге монотонно изменяющегося радиуса r(t). Примеры:

спираль Архимеда имеет равномерно увеличивающийся радиус

□ спираль Бернулли образуется при экспоненциально изменяю­щемся радиусе

радиус параболической спирали, изображенной описывается зависимостью .

Параметры , задают начальный радиус и характеристику его из­менения за один оборот спирали, т. е. за приращение t на .