Деформації при згинанні.

_{При розв’язанні задач з цього розділу слід ознайомитися з інформацією, яку містить табл.1. Балки, які розглянуті в цій таблиці будемо називати табличними.}

_{Таблиця №1 –}

№ П/П	Схема навантаження балки	Найбільший прогин	Найбільший кут повороту
1
2
3
4
5
6
7

При розв’язані задач за допомогою універсального рівняння зігнутої осі

слід прийняти до уваги, що вираз від заданого навантаження. Якщо на балку діє одночасно декілька видів навантажень, то функція буде складатися з декілька складових. Вираз в залежності від заданого навантаження наведено в таблиці 2.

Таблиця №2

Вираз в залежності від заданого навантаження в універсальному рівнянні зігнутої осі

№ п/п	Вид навантаження	V*
1
2
3
4

Порівняння прогинів при різному навантаженні.

Тест 1.

В якому випадку прогин посередині балки буде більшим?

Рис.114

Розв’язок:

Балка, яка зображена на рис.114,а – таблична балка. Застосовуючи інформацію в табл.1 прогин в балці складає

Прогин посередині в балці,яка зображена рис. 114(Б) – визначимо за допомогою суперпозиції.

Позначимо величину прогину посередині в балці, яка зображена на рис 114,б, через f₂.

Якщо розглянути балку, яка завантажена так,як зображено на рис 115, прогин також буде дорівнювати f₂.

Рис.115.

В балці , в якій по всій довжині діє рівномірно розподілено навантаження величиною 2q, прогин по середині f, виходячи з принципу суперпозиції, дорівнює:

З іншого боку це таблична балка. Прогин по середині (максимальний прогин) дорівнює:

, тоді

Отже прогин по середині у балках , які зображені на рис. 114,а та рис. 114,б однакові.

Тест 2.

У скільки разів збільшиться максимальний прогин, якщо довжина балки збільшиться вдвічі?

Рис.116

Розв’язок:

Визначення прогинів за допомогою методу початкових параметрів

Тест 1

Для заданої балки (див. рис.117) скласти в аналітичному вигляді вираз v(х).

Рис.117

Розв’язок:

Рівняння методу початкових параметрів має вигляд :

Початкові параметри:

V₀≠0 – прогин у точці х=0;

θ₀≠0 – кут повороту у точці х=0;

М₀= -М – згинаючий момент у точці х=0;

Q₀=0 – поперечна сила у точці х=0.

Якщо навантаження М діє у точці х=0, то функція V*(х)=0.

Значення невідомих початкових параметрів V₀ та θ₀ визначаємо з граничних умов: 1) V(l)=0 2) θ(l)=Vʹ(l)=0

З останнього рівняння знайдемо θ₀

Відповідь: Вираз V(х) для заданої балки має вигляд:

Тест 2

Для заданої балки (див. рис.118) скласти в аналітичному вигляді вираз θ(х).

Рис. 118

Розв’язок:

Для складання аналітичного виразу кута повороту запишемо спочатку рівняння методу початкових параметрів:

Початкові параметри:

V₀=0 – прогин у точці х=0;

θ₀≠0 – кут повороту у точці х=0;

М₀=0 – згинаючий момент у точці х=0;

Q₀=R_A=ql/2 – поперечна сила у точці х=0.

Вираз V*(х) залежить від заданого навантаження і має вигляд:

Для визначення невідомого початкового параметру θ₀ скористаємося граничними умовами:

Значення кута повороту θ₀ можна було взяти з таблиці 1.

Кут повороту дорівнює першій похідній від виразу прогину V(х)

Відповідь: Вираз θ(х) для заданної балки має вигляд:

Тест 3

Для заданої балки (див.рис.119) записати аналітичний вираз кута повороту на початку координат

Рис. 119

Розв’язок:

Кут повороту дорівнює першій похідній від виразу прогину V(х)

Початкові параметри, мають вигляд, згідно таблиці 1

Оскільки під дією навантаження поперечний переріз в точці А повертається проти годинникової стрілки, то значення – від’ємне.

Відповідь: Вираз θ(х) для заданої балки має вигляд:

Визначення переміщень в простих балках.

Тест 1

Для заданої балки визначити прогин в точці А .

Рис. 120

Розв’язок:

Скористаємося таблицею 1

Відповідь:

Тест 2

Визначити прогин в точці С для балки, зображеної на рис121..

Рис. 121

Розв’язок:

Скористаємося таблицею 1

Відповідь:

Тест 3

Для заданої балки визначити прогин в точці А.

Рис. 122

Розв’язок:

Рис. 123

Скористаємося методом початкових параметрів:

Запишемо значення початкових параметрів

V₀=0 – прогин у точці х=0;

θ₀=0 – кут повороту у точці х=0;

М₀=М_В=М – згинаючий момент у точці х=0;

Q₀=R_В=0 – поперечна сила у точці х=0.

Вираз V*(х) залежить від заданого навантаження і має вигляд:

Тоді рівняння методу початкових параметрів матиме вигляд:

Визначаємо прогин в точці А:

Відповідь: Для заданої балки прогин в точці А становить: