Обчислення моментів інерції відносно осей. Що проходять через основні розміри фігур

Тест 1.

Обчислити осьовий момент інерції прямокутника щодо осі Z, якщо I_Zc=1464 см⁴, О – центр ваги. Відповідь дати в см⁴.

Рис.102

Розв’язок:

а – відстань між осями Z та Z_C

А – площа поперечного перерізу

Відповідь:

Тест 2

Обчислити осьовий момент інерції трикутника щодо осі Z. Відповідь дати в см⁴.

Рис.103

Розв’язок:

а – відстань між осями Z та Z_C

А – площа поперечного перерізу

Відповідь:

Тест 3

Обчислити відцентровий момент інерції трикутника щодо осей ZY(див. рис.97). Відповідь дати в см⁴.

Розв’язок:

Відцентровий момент інерції відносно центральних осей z_C y_C буде від’ємним, бо координати z y більшої частини елементів площі мають різні знаки.

а – відстань між осями Z та Z_C

с – відстань між осями У та У_C

Відповідь:

Розділ II Міцність при згині

Визначення опорних реакцій та внутрішніх зусиль в балках.

Тест 1

Визначити опорні реакції

Рис.104

Розв’язок:

Опорні реакції визначаємо з рівнянь рівноваги:

Після визначення опорних реакцій, бажано зробити їх перевірку. Для цього скласти проекцію всіх сил на вертикальну вісь:

Якщо сума всіх сил на вертикальну вісь дорівнює нулю, то опорні реакції визначені вірно.

Відповідь:

Тест 2

Визначити величину поперечної сили в перерізі 1-1.

Рис.105

Розв’язок:

Рис.106

Для визначення поперечної сили, розглянемо частину балки яка розташована ліворуч від перерізу 1-1. З урахуванням правила знаків для поперечної сили:

Відповідь:

Тест 3

Визначити величину згинального моменту в перерізі 1-1.

Рис.107

Розв’язок:

Рис.108

Для визначення згинаючого моменту розглянемо частину балки яка розташована ліворуч від перерізу 1-1. Згинаючий момент дорівнює добутку сили R_A на ввідстань між силою R_А та проведеним перерізом з урахуванням правила знаків для згинаючих моментів

Відповідь:

Обрати правильно побудовані епюри

Тест 1

Обрати правильно побудовану епюру поперечних сил для наведеної нижче схеми:

Рис.109

Розв’язок:

Щоб обрати правильно побудовану епюру поперечних сил спочатку треба визначити опорні реакції з рівнянь рівноваги

Від’ємний знак означає,що початковий напрямок опорного зусилля R_B вказано невірно.

Для визначення поперечної сили проведемо один переріз і запишемо аналітичний вираз поперечної сили ліворуч від проведеного перерізу:

Поперечна сила не залежить від поточної координати х, тому по всій довжині балки буде стала і дорівнювати 5кН.

Відповідь: варіант А) – відповідає правильно побудованій епюрі поперечних сил.

Тест 2

Обрати правильно побудовану епюру поперечних сил для наведеної нижче схеми

Рис.110

Розв’язок:

Якщо балка розташована на двох шарнірних опорах, то щоб побудувати епюру поперечних сил спочатку визначимо опорні реакції. Для цього скористаємося тим , що навантаження діє симетрично відносно шарнірних опор. Тоді опорні реакції будуть однакові і дорівнювати половині рівнодіючої сили від діючого рівномірно розподіленого навантаження.

Аналітичний вираз поперечної сили для частини балки, яка розташована ліворуч від проведеного перерізу має вигляд:

Обираючи правильно побудовану епюру поперечних сил скористаємося властивістю, що якщо на балку не діє зосереджена сила, то стрибка на епюрі не буде.

Відповідь: варіант В) – відповідає правильно побудованій епюрі поперечних сил

Тест 3

Обрати правильно побудовану епюру згинальних моментів для наведеної нижче схеми

Рис.111

Розв’язок:

Скористаємося властивістю, що на ділянках, де діє рівномірно розподілене навантаження епюри згинальних моментів –це графік кривої другого порядку. Тому з чотирьох варіантів побудованих епюр доцільно розглядати тільки варіанти – А), В).

Задана балка розташована на шарнірних опорах, які розташовані по її кінцям, тому в цих перерізах згинаючі моменти будуть дорівнювати нулю. Така епюра зображена у варіанті В). Можна це перевірити значення найбільшого згинаючого моменту, який діє посередині балки:

Відповідь: варіант В) – відповідає правильно побудованій епюрі згинаючих моментів.

Визначення нормальних напружень у заданій точці поперечного перерізу

Тест 1

Визначити абсолютне значення нормального напруження в точці А, якщо згинаючий момент в цьому перерізі М=6 Кн·м Відповідь вказати в МПа.

Рис.112

Розв’язок:

– осьовий момент інерції поперечного перерізу

у_А – відстань від точки А до вісі Z, у_А=4см

Відповідь: σ_А=18,5 МПа

Тест 2.

Визначити абсолютне значення найбільшогонапруження в небезпечному перерізі двотаврової балки. Момент інерції двотавра № 12 дорівнює 360 см⁴.

Рис.113

Розв’язок:

_{ММАХ – найбільший згинальний момент}

– осьовий момент інерції поперечного перерізу, .

у_МАХ – максимальна відстань від вісі z до крайньої точки перерізу двотавра №12

Відповідь: σ_А=25 МПа

Добір перерізу балки при згині

Тест 1.

Виконати добір балки двотаврового перерізу, якщо найбільший згинальний момент дорівнює 11кНм, а допустиме напруження матеріалу [] = 170 МПа.

а) №10, Wz = 39,7 см3; б) №12, Wz = 58,4 см3;

в) №14, Wz = 81,7 см3; г) №16, Wz = 109 см3.

д)№20, Wz = 184 см3; е) №36, Wz = 743 см3.

Розв’язок:

Добір двотавровог перерізу балки зробимо за допомогою умови міцності при згині.

_{ММАХ – найбільший згинальний момент}

– осьовий момент інерції поперечного перерізу, /

[σ] – допустиме напруження

Відповідь:Оберемо двотавр № 14 момент опору котрого становить w_Z=81,7 см³, що не менше отриманого значення w_Z=64,71 см³, варіант – в).