§ 2. Изучение нового материала

Ключевым элементом в структуре многих уроков является изучение нового материала. С опорой на него или во взаимосвязи с ним решаются на уроках остальные вопроы будь то закрепление, контроль и т. д. В процессе обучения тематике оно чаще всего связано с решением проблем, возникающих при изучении математических понятий, предложений доказательств. Можно при этом выделить три основных этапа подготовку к восприятию, введение и первичное осмысление нового материала.

Этап подготовки к восприятию нового материала во многом связан с формированием опорных знаний. Этого, однако может оказаться недостаточно для обеспечения готовности учащихся к получению новых знаний. Подобное чаще всего наблюдается в тех случаях, когда в процессе преподавания не уделяется должного внимания мотивировке изучения нового или актуализации опорных знаний. Рассмотрим в этой связи на конкретных примерах некоторые способы решения данной проблемы.

1. Подготовка к изучению, например, понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников через вы явление их существенных признаков и актуализацию опорных знаний может быть осуществлена в процессе предварительного решения следующей системы упражнений после рассмотрение теоремы о сумме углов треугольника:

• Какой угол называется острым, прямым, тупым?

• Изобразите какой-нибудь острый, прямой и тупой углы

• Если один из углов треугольника прямой, то чему равна сумма двух других углов?

• Верно ли, что если один из углов треугольника прямой то два других угла будут острыми?

• Если один из углов треугольника тупой, то будет ли сумма двух других углов меньше 90°?

• Почему два угла треугольника будут острыми, если третий угол тупой?

• Если все углы треугольника равны, то чему равен каждый из них?

• Могут ли все углы треугольника быть острыми?

• Изобразите какой-нибудь треугольник, у которого один угол тупой.

• Изобразите какой-нибудь треугольник, у которого один угол прямой.

• Изобразите какой-нибудь треугольник, у которого все углы острые.

• Как бы вы назвали каждый из трех изображенных треугольников?

При подготовке к изучению других определяемых понятий возможно также использование практических примеров, пока­пывающих целесообразность их изучения, соответствующих наглядных пособий, кратких исторических справок и т. п. Ну а перед введением основных понятий желательно мотивировать факт невозможности определения всех математических понятий. Действительно, определяя некоторое математическое понятие, мы сводим его к более общему, которое, в свою очередь, при определении сводится к еще более общему понятию, и т. д. Но этот процесс не может быть бесконечным. Таким образом мы придем к понятиям, не сводимым к другим, которые в матема­тике принято называть основными или неопределяемыми.

2. В ходе подготовки учащихся к восприятию аксиом (о чем начата речь в предыдущем пункте) — математических пред­ложений, описывающих свойства неопределяемых (основных) понятий и потому принимаемых без доказательств,— нельзя упустить главного. Оно отражается и в значении греческого слова «аксиос», от которого произошло слово «аксиома»: это — утверждение, не вызывающее сомнений. Иначе говоря, к воспри­ятию содержания аксиом — будь то аксиомы арифметики, ал­гебры или геометрии — учащиеся должны быть подготовлены заранее, в том числе и через многократное выполнение разно­образных упражнений: рассмотрение и обсуждение частных слу­чаев, моделей и т. д.

Подвести учащихся к восприятию формулировок теорем I можно в ходе организованной совместно с ними деятельности по выдвижению гипотез. В частности, перед изучением теоре­мы о сумме внутренних углов треугольника заготавливается не­сколько бумажных моделей различных треугольников. Вырезав ножницами все «углы» какого-нибудь треугольника, складыва­ем затем их так, как показано на рисунках 13 и 14.

Далее замечаем, что они образуют примерно развернутый угол. Проделав такие же действия с другими треугольниками, намечаем, что этот факт, видимо, не случаен. Теперь остается «месте с учениками составить и уточнить гипотезу: быть может, сумма углов любого треугольника равна 180°?

Предварить изучение других математических предложе­ний — следствий, свойств, признаков, формул и т. д.— возможно

также, наряду с отмеченными выше способами, через цели направленное формирование вспомогательных навыков. Так, И моменту изучения формулы разности квадратов двух выраже ний все учащиеся должны научиться находить, читать и запи сывать:

• сумму двух данных выражений;

• их разность;

• произведение суммы двух выражений и их разности; i

• квадраты данных выражений;

• разность квадратов двух выражений;

• разность квадратов двух выражений и квадрат разног двух выражений.

Достигается это путем планомерного выполнения на не скольких уроках подряд соответствующих упражнений до формирования у учащихся устойчивых навыков по распознаванию, чтению и записи отмеченных выражений.

3. Чтобы подготовить учащихся к восприятию доказательств математических предложений, желательно там, где это возможно, предварительно рассмотреть реализацию идеи доказательств важна в частных случаях, если этого не сделано в используемом учебнике. К примеру, перед доказательством предложения о том, что графиком квадратичной функции является парабола, можно сначала решить задачу на построение графиком функции В ходе ее решения выделением полного

квадрата исходная формула приводится к виду откуда следует, что графиком функции является

парабола. Затем эта же идея реализуется в общем виде при обосновании рассматриваемого предложения.

Облегчить изучение доказательств может и предварительное выделение из них подзадач, решение которых рассматривается заранее. Так, перед изучением доказательства теоремы Пифагора по учебнику А. В. Погорелова можно выделить и предварительно решить следующие подзадачи:

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым уг лом С, a CD — его высота. Доказать, что:

Рассматриваемые в этих подзадачах соотношения (они связаны с понятием среднего геометрического, которое при необходимости можно ввести для использования в явном ви де) не только облегчат восприятие доказательства теоремы Пифагора, но и с успехом могут быть применены при решении задач.

Не менее важно готовить учащихся к выбору тех или иных дополнительных построений, используемых при доказательствах теорем. Возвратимся в этой связи к примеру об использовании бумажных моделей при подготовке к изучению теоремы о сум­ме углов треугольника. Если заготовить заранее два равных треугольника, то один из них можно будет использовать для демонстрации, а другой — для вырезания необходимых элемен­тов. Вместе с учащимися выясняем, что можно было бы вырезать только два «угла» треугольника, а потом сложить их с ос­тавшимся. Каждый из двух вырезанных «углов» совмещается сначала с соответствующим углом демонстрационного тре­угольника, чтобы убедиться в их равенстве. Затем три угла скла­дываются так, как показано на ри­сунке 15.

В этом случае, наряду с выдви­жением гипотезы о сумме углов треугольника, обращается внимание еще и на то, что образовавшаяся прямая при одной из вершин треугольника оказывается параллельной противолежащей стороне. Впоследствии же такое дополнительное

построение может быть использовано при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Среди различных способов ознакомления с новым матери­алом выделим следующие три: новый материал может быть объяснен самим учителем, в ходе совместной деятельности с учащимися либо отработан учащимися самостоятельно. Выбор каждого из этих способов зависит прежде всего от того, каким I временем располагает учитель на уроке для изложения нового, I от степени готовности учащихся к его восприятию и от содержания вводимых понятий, предложений и доказательств. I Последнее рассмотрим подробнее на приводимых ниже примерах.

1. Изучение новых понятий связано, как правило, с введением соответствующих определений, терминов, а порой и сим­волов, их обозначающих. Вместе с тем важно уделить особое внимание выявлению в определениях (вне зависимости от спо­соба определения понятий) определяющего (родового) понятия И существенных свойств (видовых отличий) определяемого по­нятия. Без этого не только осмысление, но и дальнейшее ис­пользование вводимых понятий становится проблематичным. По­следовательность же реализации рассмотренных этапов введе­ния математических понятий может быть различной. Так, выполнение приведенной выше системы упражнений по подготовке к изучению видов треугольников в зависимости . от величины их углов можно завершить введением соответствующих терминов и констатацией следующих положений:

• в каждом случае мы рассматривали треугольники (ус­танавливается определяющее понятие);

• в остроугольном треугольнике все углы острые, в пря­моугольном — один из его углов прямой, в тупоуголь­ном — один из его углов тупой (устанавливаются суще­ственные признаки определяемого понятия).

Тогда последующее формулирование определений понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника не вызывает затруднений у учащихся. В таких случаях можно предложить учащимся самостоятельно изучить соответствуют материал по учебнику.

Несколько иной подход характеризуется тем, что учитель сразу показывает учащимся возможный способ построении определяемого объекта и знакомит их с термином, его обо чающим. После этого формулирование определения нового понятия можно будет провести сов местно с учениками. Например, и отобразив угол АОВ и построив полу прямые ОС и OD, являющиеся продолжениями сторон данного угла учитель затем сообщает, что углы АОВ и COD называют вертикальны ми (рис. 16). Далее учащимся предлагается попробовать сформулировать определение вертикальных углов. Ход обсуждения предлагаемых определений сводится к тому, чтобы заметить: мы имеем дело с двумя углами (определяющее понятие), стороны одного из которых являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла (существенный признак определяемого понятия). Отметим также, что выбору определения вертикальных углов способствует и избранный вначале способ построения определяемого объекта.

Иной путь связан с введением нового понятия самим учителем, скажем, в целях экономии времени. Проиллюстрируем его на примере введения понятия линейной функции:

• учитель сразу формулирует определение нового понят; (линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида _ , где х — независимая переменная, hub — некоторые числа);

• мотивирует обозначение его соответствующим термином а там, где требуется это, и символом (сообщает, что тер мин «линейная» связан с графиком функции который будет рассмотрен позднее);

• выделяет в определении определяющее понятие (функция) и существенные свойства определяемого понятия (функцию, например, можно задать формулой где х — независимая переменная, k и Ъ — некоторые числа);

• конкретными примерами иллюс­трирует введенное понятие.

2. При любом способе введения математических предложений учащимся должны быть тщательно разъяснены их форму­лировки. Особые трудности здесь возникают в тех случаях, когда этап подготовки к их изучению не был эффективно использован. В самом деле, может ли быть успешным введение, на­пример, аксиом принадлежности, если к моменту их изучения учащиеся допускают, в частности, такое изображение точки А, лежащей на прямой а (рис. 17)?

Иначе говоря, не понимая смысла понятий и отношений, используемых в формулировках математических предложений, учащиеся не в состоянии уяснить их содержания в целом. По­следнее же сводится к установлению по данным формулиров­кам математических предложений их условий и заключений. Так, если речь идет о теореме, то это сводится к выделению и уяснению по ее формулировке того, что «дано» и что «требует­ся доказать». К тому же и переход к доказательству теоремы, как правило, осуществляется лишь после выделения ее условия и заключения.

Казалось бы, выделение условия и заключения теоремы по еe формулировке не должно вызывать затруднений у учащих­ся. На самом же деле они не всегда в состоянии отделить их, особеннно в тех случаях, когда формулировка теоремы дана в категоричной форме. Рассмотрим пример такой формулировки теоремы: вертикальные углы равны.

Пытаясь выяснить здесь у учащихся, что «дано» и что "требуется доказать», мы можем порой поставить их в весьма затруднительное положение. Тогда каким же видится выход из подобных ситуаций? Он кроется в подобных ситуациях в переформулировке теоремы из категоричной формы в условную. И рассматриваемом случае, переходя к условной формулировке теоремы, имеем: если два угла вертикальные, то они равны.

Здесь уже отмеченные трудности удается преодолеть бла­годаря появлению в условной формулировке теоремы явных ори­ентиров: ее условие заключено между союзами «если» и «то», а заключение — за союзом «то».

Конечно же, вводить в употребление термины категорич­ной и условной формулировок теорем не следует. Однако уме­ниями переводить формулировки теорем из категоричной в условную и наоборот надо владеть не только в рассматриваемом случае. Это могло бы понадобиться, в частности, и при выдви­жении гипотез перед введением теорем, да и при «открытии» теорем, о чем речь будет идти ниже.

3. Объяснение учителем доказательств математических предложений не должно сводиться лишь к более подробному из­ложению соответствующего текста учебника. В противном слу­чае возможно крайне нежелательное смещение акцентов в обу­чении: тогда оно содействует формальному заучиванию учащимися текстов доказательств без должного развития умений рассуждать и доказывать. Осмысленному восприятию способствует первоначальное им деление идеи (плана) доказательства с последующим переходом к ее детализации. К примеру, выяснив условие и заключение одного из признаков параллелограмма (если в четырехугольни­ке противоположные стороны попарно равны, то этот четырех угольник — параллелограмм), можно сначала наметить идею доказательства: установить, что , с помощью

одного из признаков параллельности прямых (рис. 18).

Для реализации же намеченного плана в четырехугольнике ABCD проводим диагональ АС. Она paзделяет его на два треугольника АВС CDA. Эти треугольники равны по трем сторонам, а из их равенства следует равенство углов:

Используя же признак параллельности прямых (на основании равенства накрест лежащих углов), заключаем, что АВ║СД и AD║BC. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, он является параллелограммом.

Правда, и при этом ряд вопросов остается открытым. Как научиться, например, догадываться и проводить нужные дополнительные построения, выявлять идею или находить само доказательство? Заметим, что эти недостатки являются типичны ми для синтетического доказательства математического предложения (доказательства, ведущегося в направлении от его условия к заключению), пример которого мы только что рассмотрели В этой связи уместно напомнить, что при изложении теории Л учебниках используются в основном синтетические доказательства. Это обусловлено их достоинствами — исчерпывающей полнотой и краткостью. Применяя же в обучении только синтетические доказательства, мы обрекаем учащихся на пассивное наблюдение за ходом их проведения, так как выбираемая в ходе проводимого доказательства последовательность рассуждений становится им понятной, как правило, лишь после его завершения. Вот почему в рассмотренном примере перед прове­дением синтетического доказательства учащиеся были сна чала ознакомлены с идеей, которую они будут затем реализовывать.

Другой путь решения этой проблемы связан с использовавнием аналитического доказательства математического предложе­ния (доказательства, ведущегося в направлении от его заключения к условию). Рассмотрим пример аналитического доказательства того же самого признака параллелограмма.

Для того чтобы четырехугольник ABCD являлся паралле­лограммом (доказательство признака начинаем с его заключе­ния), достаточно доказать, что и

Для того чтобы эти стороны четырехугольника были па­раллельны, достаточно использовать один из признаков парал­лельности прямых: например, доказать равенство накрест лежа­щих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей.

Такие накрест лежащие углы можно получить, если про­мости диагональ АС (. , а также ).

Для доказательства равенства этих углов достаточно дока­пать равенство треугольников ABC и CDA.

Для доказательства равенства этих треугольников доста­точно использовать один из признаков равенства треугольников: например, по трем сторонам.

Эти равенства выполняются: АС — общая сторона, AB=CD и AD=BC (по условию). Признак доказан.

На этом примере можно убедиться в том, что использова­ние аналитического метода позволяет мотивировать выполнение дополнительных построений и всей последовательности рассуж­дений при проведении доказательств. Однако даже в рассмот­ренном аналитическом доказательстве последовательность рассуждений на отдельных этапах могла пойти по пути, не при­водящему к цели. Поэтому более универсальным представляет­ся аналитико-синтетическое доказательство с использованием как цепочек выводов, идущих от условия, так и цепочек выво­дов, ведущих к заключению. Затем, после замыкания этих це­почек, прослеживается все доказательство от условия до заклю­чения [26].

Данная методика может быть с успехом применена не толь­ко для вовлечения учащихся в совместную с учителем деятель­ность по отысканию доказательств, но и для самостоятельного "открытия» ими теорем.

«Открытие» теорем учащимися возможно и в ходе специ­ально организованной деятельности. Так, приступая к изучению теоремы Виета, учитель сначала предлагает учащимся выпол­нить следующую систему заданий:

— вспомните, какие квадратные уравнения называют приведенными, и приведите примеры;

— запишите приведенное квадратное уравнение и найдите значение его дискриминанта;

• составьте формулы корней приведенного квад­ратного уравнения;

• найдите сумму корней и сделайте вывод;

— найдите произведение корней и сделайте вывод. Обобщая полученные результаты, учитель сообщает, что

учащиеся «открыли» теорему Виета, и разъясняет, почему она была так названа.

Наконец, доказательства вводимых математических пред­ложений могут быть даны учащимся для самостоятельного изучения. Предлагаемый при этом материал должен быть посильным для них, а при необходимости учащиеся обязательно должны получать исчерпывающие разъяснения учителя по возникшиющим вопросам. Разумеется, ребят надо готовить к самостоятельному изучению доказательств математических предложений но об этом мы уже говорили. В частности, если выделенные их доказательства теоремы Пифагора подзадачи, о которых шла речь, были заранее решены, то при самостоятельном изучении теоремы Пифагора по учебнику А. В. Погорелова основные трудности окажутся снятыми. В самом деле, учащимся в этом случае остается разобраться только в том, как находится сумме квадратов катетов.

Конечно же, мы отчасти затрагиваем здесь и вопросы, связанные с решением более общей проблемы — формирования готовности учащихся к самообразованию, что, в свою очередь, является темой для специального разговора.

Первичное осмысление учащимися нового материала в боль шей степени связано с осознанием определений вводимых понятий, формулировок математических предложений и осуществи ленных доказательств.

Осознание учащимися определений математических понявтий достигается главным образом в процессе формирования у них умений:

• выделять в определениях родовые (определяющие) понятия и видовые отличия (существенные свойства) определяемого понятия;

• устанавливать принадлежность рассматриваемого объекта к введенному понятию с помощью определения, т. е выяснять, относится ли он к родовому понятию и обладает ли видовыми отличиями;

• в случае принадлежности объекта к введенному понятию устанавливать совокупность свойств, которыми он обладает по определению: она состоит из всех известных свойств родового понятия и видовых отличий.

Осмысление же учащимися математических предложенной и доказательств достигается прежде всего в ходе овладения ими умениями:

• устанавливать по предложенным формулировкам математических предложений их условия и заключения;

• выявлять идею (план) выполненного доказательства математического предложения;

• применять введенное математическое предложение в простейших случаях.

Управление деятельностью учащихся при изучении нового материала должно осуществляться и с учетом психолого-дидактических закономерностей [37]. Особое внимание при этом сле-дует обратить на то, что при пассивном участии многое усколь­зает от внимания обучающегося. К более же полному, богатому восприятию приводит активная мыслительная деятельность, которая по ходу ознакомления с материалом возрастает, если со­блюдаются следующие условия:

• учащийся, знакомясь с материалом, одновременно вы­полняет конкретное задание, помогающее глубже понять данный материал;

• это задание направляет усилия учащегося на использо­вание определенного приема мыслительной деятельнос­ти (сравнения, конкретизации и т. п.);

• данный прием соответствует содержанию материала, и чем в большей мере, тем сильнее активизируется дея­тельность;

• учащийся обладает знаниями, необходимыми для вы­полнения задания, и навыками применения данного при­ема;

• материал не является чрезмерно легким.

В конечном счете необходимо обеспечить «ориентировку» в новом материале [32, 185], которая достигается фиксированн­ом его основного содержания, подлежащего усвоению, и спосо­бов работы с ним. Данная система ориентиров (ориентировоч­ная основа действий) должна быть представлена в таком виде, чтобы ученик мог правильно воспользоваться ими с первого же раза, пусть даже поначалу и медленно. В этих целях употреб­ляются краткие схематические записи, соответствующие образ­цы применения нового материала при решении задач и т. д.

Между тем успешной реализации рассматриваемых вопро­сов методики изучения нового материала способствует, как вы­яснилось, соответствующий выбор конструкции урока, прежде всего из числа уроков базовой системы. Так, методические кон­цепции, заложенные в школьных учебниках, как правило, ори­ентированы на введение математических понятий в рамках уро­ков ознакомления с новым материалом. При укрупнении дидак­тических единиц в ходе изучения нового материала более подходящими являются уроки-лекции. Если новый материал равномерно распределяется в системе уроков по учебной теме, то лучше воспользоваться комбинированными уроками. Для ов­ладения ведущими идеями изучаемых тем больше подходят уро­ки обобщения и систематизации знаний. Если в ходе изучения нового материала привлекаются результаты его анализа и зна­ния других учебных предметов, то лучше это сделать в рамках интегрированных уроков. Вопросы же изучения исторических сведений, установления связи теории с практикой могут успеш­но решаться на уроках-экскурсиях.

Безусловно, при изучении нового материала лишь начина­ют решаться вопросы, связанные с его усвоением, т. е. понима­нием, запоминанием, умениями его применять. Дальнейшее же развитие эти процессы получают при закреплении изученного, что специально рассматривается нами вслед за изложенным.