1.2. Общая постановка двухиндексных задач

1.2.1. Задача об использовании мощностей

Пример 7. На двух автоматических линиях выпускают аппараты 3-х типов. Условия производительности и затрат на работу приведены в табл. 7.

Таблица 7

Тип аппарата	Производительность		Затраты на работу		План, шт
	1	2	1	2
А	4	3	400	300	50
В	6	5	100	200	40
С	8	2	300	400	50

Составить такой план загрузки линий, чтобы суммарные затраты были минимальны, а задание было бы выполнено не более, чем за 15 суток.

Решение: х_ij – затраты времени на изготовление i-го вида продукции на j-ой линии. Суммарные затраты на выполнение плана по производству:

F_min = 4*400х₁₁ + 3*300х₁₂ + 6*100х₂₁ + 5*200х₂₂ + 8*300х₃₁ + + 2*400х₃₂

4х₁₁ + 3х₁₂ = 50 - ограничения объема продукции А,

6х₂₁ + 5х₂₂ = 40 - ограничения объема продукции В,

8х₃₁ + 2х₃₂ = 50 - ограничения объема продукции С.

Так как время работы каждого станка не превышает 15 суток, то

х₁₁ + х₂₁ +х₃₁≤ 15

х₁₂ + х₂₂ +х₃₂ ≤ 15.

х_ij ≥ 0

Пример 8. Выполнить заказ по производству 32 изделий И₁ и 4 изделий И₂ взялись бригады Б₁ и Б₂ . Производительность бригады Б₁ по производству изделий И₁ и И₂ составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады Б₂ – соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады Б₁ равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады Б₂ – 15 и 30 руб.

Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

Решение: пусть x₁₁ – количество изделий И₁ и x₁₂ – количество И₂, изготавливаемых бригадой Б₁; x₂₁ – количество изделий И₁ и x₂₂ – количество изделий И_2, изготавливаемых бригадой Б₂. Тогда

F(X) = 9x₁₁ + 20x₁₂ +15x₂₁ + 30x₂₂ → min.

x ₁₁ + x₂₁ = 32 - количество изделий И_1, произведенных бригадами Б₁ и Б₂

x₁₂ + x₂₂ = 4 - количество изделий И₂

Если известна производительность каждой бригады, т.е. количество производимых изделий в 1 ч., то трудоемкость есть обратная величина. Тогда 1/4 ч тратит бригада Б₁ на производство одного изделия И₁ и 1/2 ч на производство одного изделия И₂; 1/1 ч тратит бригада Б₂ на производство одного изделия И₁ и 1/3 ч на производство одного изделия И₂.

1 /4x₁₁ + 1/2x₁₂ ≤ 9,5 - общее время, затраченное бригадой Б₁ на выпуск изделий И₁ и И₂

1/1x₂₁ + 1/3x₂₂ ≤ 4 - общее время, затраченное бригадой Б₂

x_ij ≥0

В общем виде: предприятию задан план производство продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Т выпустить n₁, n₂, …, n_k единиц продукции Р₁, Р₂, … Р_к.. Продукция производится на станках S₁, S₂, …, S_m . Для любого станка известны производительность a_ij (число единиц продукции P_j которую можно произвести на станках S_i, ) и затраты b_ij на изготовление продукции P_j на станке S_i в 1единицу времени. Необходимо составить такой план работы станков х_ij (время, в течении которого станок S_i будет занят изготовлением продукции P_j), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальны.

ограничение работы станков - ,

ограничения по номенклатуре - ,

любое х_ij ≥ 0.