3.4. Оптимальное распределение инвестиций
Требуется распределить инвестиции B среди n предприятий, доход gi(xi) от которого, в зависимости от количества вложенных средств хi, определяется матрицей:
х g |
g1 |
g2 |
... |
gn |
х1 |
gi(x1) |
g2(x1) |
… |
gn(х1) |
х2 |
gi(x2) |
g2(x1) |
… |
gn(х2) |
х3 |
gi(xn) |
g2(x1) |
… |
gn(х3) |
Определить
(х1*,
х2*
, …, хn*),
удовлетворяющее условиям:
Переменной управления на каждом шаге назовем величину средств хк, вкладываемое в каждое предприятие. В качестве функции Беллмана Fк(Ск) выберем максимальный доход, который можно получить с предприятий (к = 0, n) при условии, что на их инвестирование осталось Cк средств:
к = n
Fn(Cn)
= gn(Cn)
и хn
= Cn;
,
к = 1,n.
Получим хк*, в котором функция достигает максимума, и является оптимальным решением. F1(С1) – max доход со всех предприятий, а х1* - оптимальное количество средств, вложенное в первое предприятие. Далее Cк = Cк-1 - хк-1 и оптимальное количество хк.
Пример 34. На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Известна эффективность капиталовложений, заданная значением нелинейной функции gi(xi). Необходимо определить распределения средств между предприятиями, чтобы получить максимальный суммарный доход.
Решение. Пусть распределение равно 0, 1,…., 5 млн. руб.
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
g1 |
2,2 |
3 |
4,1 |
5,2 |
5,9 |
g2 |
2 |
3,2 |
4,8 |
6,2 |
6,4 |
g3 |
2,8 |
5,4 |
6,4 |
6,6 |
6,9 |
Условная оптимизация.
к = 3. F3(C3) = g3(C3) и х3 = С3.
x3* |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
F3(C3) |
0 |
2,8 |
5,4 |
6,4 |
6,6 |
6,9 |
к = 2.
C2\x2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
F2(C2) |
x2* |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
2,8 |
2 |
|
|
|
|
2,8 |
0 |
2 |
5,4 |
4,8 |
3,2 |
|
|
|
5,4 |
0 |
3 |
6,4 |
7,4 |
6,0 |
4,8 |
|
|
7,4 |
1 |
4 |
6,6 |
8,4 |
8,6 |
7,6 |
6,2 |
|
8,6 |
2 |
5 |
6,9 |
8,6 |
9,6 |
10,2 |
9,0 |
6,4 |
10,2 |
3 |
Первые два шага приведены на рис. 24.
Рис. 24. Экранная форма первых двух шагов.
к = 1.
C1\x1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
F1(C1) |
x1* |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
2,8 |
2,2 |
|
|
|
|
2,8 |
0 |
2 |
5,4 |
5,0 |
3 |
|
|
|
5,4 |
0 |
3 |
7,4 |
7,6 |
5,8 |
4,1 |
|
|
7,6 |
1 |
4 |
8,6 |
9,6 |
8,4 |
6,9 |
5,2 |
|
9,6 |
1 |
5 |
10,2 |
10,8 |
10,4 |
9,5 |
8,0 |
5,9 |
10,8 |
1 |
Безусловная оптимизация.
Максимальный доход равен F1 (5) = 10,8 → max, следовательно, x1* = 1 млн. – первому предприятию. Осталось распределить 5 – 1 = 4 млн. Переходим к F2(4) = 8,6, следовательно, x2* = 2 – второму предприятию. Осталось распределить х3* = 3 – 2 = 1 – третьему предприятию.