1. Модели оптимального планирования
1.1. Общая постановка одноиндексных задач
1.1.1. Задача использования ресурсов
Пример 1. Для производства 3х видов изделий А,В,С используется 3 различных вида сырья, каждый вид сырья может быть использован в количестве соответственно не больше 180;210;244 кг. Нормы затрат на 1ед. продукции данного вида и цена на 1ед. продукцию каждого вида приведены в табл.1:
Таблица 1
Виды сырья |
А |
В |
С |
1 |
4 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
2 |
5 |
Цена 1ед. продукции |
10 |
14 |
12 |
Определить план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий будет максимальной. Составить матричную модель.
Решение. Пусть x1 количество изделий вида А, x2 – В, x3 – С.
F = 10х1 + 14х2 + 12х3 max.
Ограничения по видам сырья:
4
x1
+ 2x2
+ x3
≤ 180
3x1 + x2 + 3x3 ≤ 210
x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 244
х1 ≥ 0, х 2≥ 0, х3 ≥ 0
Пример 2. Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок (табл. 2). Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1- го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида. Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
Таблица 2
|
Расход инградиентов, т ингр./т краски |
||
Ингредиенты |
Краска 1-го вида |
Краска 2-го вида |
Запас, т |
А |
1 |
2 |
6 |
В |
2 |
1 |
8 |
Решение: пусть x1 – суточный объем производства краски 1-го вида, [т краски/сутки]; x2 – суточный объем производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].
F(X) = 3x1 + 2x2 → max [тыс. руб./сутки],
x
1
+ 2x2
≤ 6 - ограничения по расходу А
2x1 + x2 ≤ 8 - ограничения по расходу В
x2 - x1 ≤ 1 - ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сравнению с объемом производства краски 2-го
x2 ≤ 2 - ограничение по суточному объему производства краски 2-го
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
В общем виде: пусть предприятие имеет m-видов ресурсов в количестве bi единиц (i = 1,¯m), из которых производится n видов продукции. Для производства единицы j продукции расходуется aij единиц одного ресурса, а ее стоимость составляет cj единиц. Составить план выпуска продукции xi, обеспечивающий максимальную прибыль при наименьших затратах.
(1)
(2)
хj ≥ 0 (3)