Ответы к заданиям

1.1. BF = ; 1.2. CG = ; 1.3. FCG = ;

1.4. GBF = ; 1.5. DK= ; DG – операция не выполнима; Y^TB = (–1 1); ZK^T = ; F + B – операция не выполнима; FG + B = ; FT + G = ; FY – операция не выполнима; GF = . 1.6. AB  BA. 1.7. AB = BA.

1.8. 1) BA – операция не выполнима, AB = ;

2) BA = , AB = (1);

1.9. AE = EA = A. 1.10.

2.1 а) –2; б) 18; в) 39; г) 8; д) –29; е) –29; ж) –87; з) –145; и) –10; ж) –30.

2.3 а) ; б) ; в) ; г) ;

      е) ; д) ; ж) .

3.1. а) Х^т = (1; 3; 5); б) Х^т = (1; – 1); в) Х^т = (0; 0; 0); г) Х^т = (1; –1; 2; –2);

  д) Х^т = (1; 2; –1); е) Х^т = (1; 2; 3).

3.2. а) Х = с , = (–2; 1); б) Х = с , = (1;2);

       в) Х = с , = (1; –3).

3.3. а) x = – 1, y = 2; б)  = – 33; x = 3, y = – 1, z = 0;

в)  = 1, х₁ = 2, х₂ = –1, х₃= 3; г) =60, х₁ = х₂ = х₃ = 1; д) x = 5, y = –2.

4.1. 1) М_2n= {2, 4, 6,…,100}; 2) а) 2  М_2n; б) если n  N, то (n + 2) М_2n;

в) n  98; 3) М_2n ={n : n – целое положительное число, не превышающее 100} или М_2n = {n : nN  n/2 N, n  100}.

4.2. {1}. 4.3. [–1, 1].

4.4.

а) б) в)

4 .5 (–, 2)  (3, )

4.6. С  3; D  3; P  1; К 

4.7. а) нет б) нет

А  В = {1; 2; 3; 4; 5; 8; 9}, А  В = {1; 2; 8}, А \ В = {3; 5; 9},

В \ А = {4}

4 .8.  = (–, 0]  (1, )

 = (1, 3)

 = (0, 1]

 = 

 = (–, 1]  [3, )

4.9. а) А  В  б)  в) А  В

г)  =  (по закону де Моргана)

4.10. а) В  С = {1; 2; 3}, А  (В  С) = {2; 3},

А  В = {2; 3}, (А  В)  С = {2; 3}.

б) В  C = {–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3} А  (В  C) = {–2; 0; 2; 3},

(А  В)  (А  C) = {2; 3}  {–2; 0; 2; 3} = {–2; 0; 2; 3}

5.3. 1) (x  R): (х = х);

2) (y R): (y²  0); 3) (x  R): (x > 0  x < 0  x = 0);

4) (x  R): (x – 2 = 5); 5) (x  R): (ax² + bx + c = 0).

6) M x  X (x  M); 7) (x  X): ( х  m);

8) x, y R: (x < y )  z (x < z < y); 9) M x  X (f(x)  M)

5.4. Высказывания истинны: 1), 3), 6), 8), 9), 11), 12), 13), 14)

и ложны: 2), 4), 5), 7), 10), 15).

6.1. В первом и во втором графах v₁=v₂=5, E₁=E₂=7. Матрицы инцидентности и смежности, список ребер представлены в табл. 6.4–6.8.

Таблица 6.4 (матрицы инцидентности) Таблица 6.5 (матрицы смежности)

Таблица 6.6 (матрицы инцидентности)

Таблица 6.7 (матрицы смежности)

Таблица 6.8 (список ребер)

G1			G2			G3			G4
ребра	вершины		ребра	вершины		ребра	вершины		ребра	вершины
a	1,2		a	1,2		1	I, II		1	I, II
b	2,2		b	2,3		2	I, III		2	I, III
c	2,3		c	3,4		3	II, IV		3	II, IV
d	3,3		d	4,5		4	I, V		4	IV, II
e	3,5		e	1,1		5	III, IV		5	IV, IV
f	1,4		f	1,5		6	III, IV		6	III, V
g	4,5		g	5,5		7	IV, IV		7	III, V
						8	III, V		8	III, VI
						9	IV, VII		9	III, VII
						10	V, VI		10	VII, VII
						11	VI, VII

При наличии матрицы инцидентности число всех вершин и число ребер определяется очевидным образом по размеру матрицы: число ребер Е графа равно числу строк т, число вершин V–числу столбцов матрицы. То же с определением числа ребер по списку ребер; число вершин равно максимальному номеру перечисленных номеров вершин. Число вершин графа по матрице смежности определяется порядком n списка. Матрица смежности н-графа симметрична относительно главной диагонали _ij = _ji, и все его ребра определяются верхним правым треугольником матрицы, расположенным над диагональю, включая последнюю.

6.2. Изображенная сетевая модель представляет собой ориентированный граф, который может быть полностью задан различными способами:

1. с помощью задания двух множеств: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и E = {(1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (3,4), (4,6), (5,6)};

2. матрицей инцидентности табл.6.9;

3. матрицей смежности табл.6.10;

4. списком ребер.

Таблица 6.9 Таблица 6.10

7.2. 2) 3) Координаты точки D(6, 2). 4) Да. 5) Два вектора. (6, –2) и (–6, 2).

7.3. 1) Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом. 7.4.  =3 .

7.5. 1) Нет 2) Да. 3) Да. 7.6.  = – 4,  =1/2;

7.7.  + = 6,  –  = 14; 7.8. (1, –1), (–1, 1), 7.9. – 76;

7.10.  = – 6; 7.11. 1) Y₁  X₁; 2) Y₂  X₂, Y₂ = 6X₂;           3) Y₃  X₃.

8.1. Y₁=AX₁= ; X₁ собственным вектором не является;

Y₂=AX₂= ; X₂ является собственным вектором, ₂ = 3.

8.2. 1) ₁ = 2 , X₁= ; ₂ = 3, X₂ = ; X₁ и X₂ не ортогональны;

2) ₁ = -1, X₁= ; ₂ = 5 , X₂ = ; X₁  X₂;

3) ₁ = 7 , X₁= ; ₂ = 2 , X₂ = ; X₁  X₂;

4) ₁ = 5 , X₁= ; ₂ = 1 , X₂ = ; X₁ и X₂ не ортогональны;

5) ₁ = 0 , X₁= ; ₂ = 5 , X₂ = ; X₁  X₂;

6) ₁ = 2 , X₁= ; ₂ = 4 , X₂ = ; X₁  X₂;

9.1. 1) D _f = {x / x  (–3; +)}, E_f = {y / y  R};

2) D _f = {x / x  R}, E_f = {y / y  [e^–2;+)};

3) D _f = {x / x  [0; 2]}, E_f = {y / y  [1;2^]};

9.2 1) y = x², x  [1;2]; 2) y =

3) y=2+2^x, x (-;+); 4) y= .

9.3. 1) f(x)= ; 2) f(x)=sin x, sin x>0; 3) f(x) = x²+1, x>0, x1.

9.4. 1) A= 4,  = 5,  = 0, T = ; 2) A= 2,  = 1,  = , T = 2

3) A= ,  = 2,  = , T = ; 4) A= 3,  = , = , T= 4.

9.6. 1),2),5),8) – нечетные; 3), 7) – четные; 4), 6) – функции общего вида.

9.7. 2), 4)

10.6. а) N= ; б) N= +1; в) N= .

10.6. 1) ; 2) 2; 3) 1; 4) 0; 5) 1; 6) 1; 7) 3; 8) 0; 9) 2; 10) ½;

11) 1/5; 12) .

10.7. 1) ; 2) 0; 3) ½; 4) ¼; 5) 0; 6) 4; 7) 5/2; 8)1/8; 9) 3; 10) –2;

11) – 1; 12)1/3; 13) , неопределенности нет; 14) ; 15) 0.

11.2. а) а = 2; б) b =  a/2.

11.3. а) –х = 0 – точка устранимого разрыва, f(0) = 1; б) х = –2 – точка разрыва первого рода (скачок); в) х = 1 – точка разрыва второго рода.

12.1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5(cos5x – sin5x);

5) ; 6) ; 7) ; 8) 6 sinx cosx – 3 sin²x cosx;

9)  ; 10) ;

11) –12cos² (4x + 1)  sin (4x + 1); 12) cos (sinx)  cosx; 13) ;

14) ; 15) arcsin x; 16) ; 17) ;

18) ; 19) ; 20) ; 21) ;

22)  ; 23)x^n-1(n ln x + 1); 24) 2x² e^2x+3; 

25) ; 26) ; 27) ;

28) –3 e^cos3x sin 3x; 29) ; 30) .

12.2. 1) y = 3 – x; 2) 3x + 10y – 2 = 0; 3) y = – 1; 4) y = 12 (x – 1).

12.3. 1) 500 sin (10x + 2); 2) 2/x; 3) ; 4) 6 + .

13.1. б). 13.2. 1) – возрастает, (0, 2) убывает, , ; 2)  – убывает, – возрастает, ;

3) везде возрастает.

13.3. 1) Интервалы: выпуклости – (– ; 1), вогнутости – (1; ), x = 1 – точка перегиба; 2) Интервалы: вогнутости – , выпуклости – , – точка перегиба; 3) График везде выпуклый.

13.4.

13.5. 1) . Асимптот нет. При функция убывает, при – возрастает, ; интервалы: вогнутости – (– ;0)(2;), выпуклости – (0, 2), , – точки перегиба, , .

2) ; асимптоты: , ; - возрастает, – убывает, , ; x < – 1 – график выпуклый, x > – 1 – вогнутый, точек перегиба нет.

3) , функция нечетная. Асимптота ; – убывает, (–1, 1) – возрастает, , ; интервалы: выпуклости – , вогнутости – , , – точки перегиба.

13.6. 1) , ; 2) , ;

3) , .

14.1. 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ; 19) ;

20) ; 21) ; 22) ;

23) ; 24) ; 25) ;

26) ; 27) – e^ctgx + C; 28) ln | arcsin x | + C;

29) ln | x³ + 1/3 + C; 30) lne^x + 1+ C.

Замечание:

интегралы 6, 7, 8, 12, 13, 15–16, 18, 19 приводятся к ;

интегралы 1, 28–30 приводятся к ;

интегралы 14, 26, 27 приводятся к ;

интегралы 11, 22 приводятся к ;

интегралы 17, 23, 24, 25 приводятся к ;

интегралы 2, 9, 20, 21 приводятся к интегралам от тригонометрических функций.

14.2. 1) ; 2) ;

3) ;

4) ; 5) x ln² x – 2x lnx + 2x + C.

15.1.. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

15.2. 1) ; 2) ; 15.3. 1) ; 2) ; 3) ;

15.4. 1) 5; 2) .

16.1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) интеграл расходится;

5) интеграл расходится; 6) .

16.2. 1) интеграл расходится; 2) 2; 3) интеграл расходится; 4) 2.