Алгоритм 13 Вычисление несобственного интеграла второго рода
Шаг 1. Находим точки разрыва подынтегральной функции.
Шаг 2. В зависимости от того, где находится точка разрыва (в левом или правом конце интервала, или внутри интервала), выбираем формулу вычисления из формул (16.4)–(16.6).
Шаг 3. Находим первообразную и по формуле Ньютона – Лейбница считаем определенный интеграл (или определенные интегралы).
Шаг
4. Вычисляем
предел при
(или вычисляем пределы при
,
).
Шаг 5. Делаем вывод: если предел конечен, то несобственный интеграл сходится, если бесконечен или не существует – расходится.
Пример 16.3. Вычислить несобственные интегралы от неограниченных функций или установить их расходимость.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
1)
Точкой разрыва подынтегральной функции
является х = 1
(точка х = –
1 не входит в промежуток интегрирования).
По формуле (16.4)
[находим первообразную
.
По формуле Ньютона – Лейбница считаем
определенный интеграл] =
= [вычисляем предел при
]
=
=
= [по формулам тригонометрии
,
]
= 
.
Ответ: Интеграл равен , сходится.
2)
Подынтегральная функция
имеет разрыв при
х = 2 –
эта точка лежит внутри промежутка
[0, 3], поэтому применяем формулу (16.6).
= [находим первообразную
и считаем определенный интеграл] =
+
=
= 
= [При вычислении пределов учитываем,
что
при
и
при
]
=
.
Ответ: Интеграл расходится.
Ответы: 3) интеграл расходится;
4) интеграл равен 4, сходится.
Задания для самостоятельного решения
16.1. Вычислите несобственные интегралы с бесконечными пределами или установите их расходимость.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
; 6)
.
16.2. Вычислите несобственные интегралы от неограниченных функций или установите их расходимость.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Приложение 1
Для того чтобы выразить математические умозаключения по определенным формальным правилам, используют буквы (прописные и строчные) русского, латинского и греческого алфавитов. Приведем здесь латинский и греческий алфавиты с написанием и произношением часто встречающихся букв.
Греческий алфавит
Буквы |
Название |
Буквы |
Название |
Буквы |
Название |
A, |
альфа |
I, |
йота |
Р, |
ро |
B, |
бэта |
K, |
каппа |
, |
сигма |
Г, |
гамма |
, |
ламбда |
Т, |
тау |
, |
дельта |
М, |
мю |
Ф, |
фи |
Е, |
эпсилон |
N, |
ню |
X, |
хи |
Z, |
дзета |
, |
кси |
Y, |
юпсилон |
H, |
эта |
O, |
омикрон |
, |
пси |
, |
тэта |
П, |
пи |
, |
омега |