Задания для самостоятельного решения
15.1. Вычислите определенные интегралы.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
15.2. Выясните (не вычисляя), какой из интегралов больше.
1)
или
; 2)
или
.
15.3. Изобразите фигуру и найдите ее площадь.
1)
2)
3)
15.4. Вычислите среднее значение функции на отрезке.
1)
;
; 2)
;
.
Занятие 16
Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
Рассматривая определенный интеграл , мы предполагали, что: а) промежуток интегрирования [a, b] некоторый отрезок; б) подынтегральная функция f(x) определена и ограничена на этом отрезке. Если нарушается хотя бы одно из условий а) или б), то интеграл называется несобственным. При этом, если нарушено только условие а), то говорят о несобственном интеграле первого рода (или интеграле с бесконечными пределами интегрирования). Если нарушено только условие б), то есть подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв на отрезке интегрирования [a, b], то говорят о несобственном интеграле второго рода (или интеграле от неограниченной функции).
Изучим интегралы с бесконечными пределами интегрирования (–; b], [a; ), (–; ).
П
Рис. 16.1
непрерывна на интервале
.
Тогда предел
называется несобственным
интегралом первого рода
и обозначается
,
т. е.
.
(16.1)
Если существует конечный предел (16.1), то говорят, что несобственный интеграл (16.1) сходится, если предел (16.1) либо не существует, либо бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл (16.1) расходится.
Е
Рис.
16.1
Аналогично
определяется несобственный интеграл
,
где f(x)
непрерывна на интервале (–;
b]:
Рис. 16.1
. (16.2)
Алгоритм 12
Вычисление
несобственного интеграла
Шаг 1. Записываем интеграл, используя определение (16.1)
Шаг 2. Находим первообразную F(x) для функции f(x). Шаг 3. Вычисляем по формуле Ньютона–Лейбница определенный интеграл
Шаг
4. Вычисляем
Шаг 5. Делаем вывод: если предел конечен, то несобственный интеграл сходится, если бесконечен или не существует – то расходится. |
.
.
(
).
.
Несобственный
интеграл для
понимается
следующим образом:
.
(16.3)
Здесь с – любое (конечное) число на числовой оси. Несобственный интеграл (16.3) сходится тогда, когда сходится каждый из несобственных интегралов в правой части (16.3), и расходится, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части (16.3).
На основе определения составлен алгоритм вычисления несобственного интеграла (16.1). Несобственные интегралы (16.2) и (16.3) вычисляются аналогично.
Отметим, что основные свойства несобственных интегралов аналогичны свойствам определенных интегралов.
Пример 16.1. Вычислить несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования или установиnm их расходимость.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
1)
По определению несобственного интеграла
=[находим
первообразную
]=
= = [применяем
формулу Ньютона–Лейбница
]
= =
= [переходим к пределу при
,
при этом учитываем, что
при
]
=
.
Ответ:
Несобственный
интеграл равен
,
сходится.
2)
Согласно формуле (16.3) имеем
.
Первый интеграл находим по формуле
(16.2), а второй – по формуле (16.1):
.
Итак,
.
Ответ: Интеграл сходится.
3)
Имеем
.
Следовательно, данный интеграл расходится.
Ответы: 4) интеграл расходится;
5) интеграл равен 2, сходится; 6) расходится.
Пример
16.2. Исследуем
сходимость интеграла
.
Э
Рис.
16.2
является кривая Гаусса
(рис. 16.2)
Представим интеграл
Пуассона в виде суммы двух интегралов
,
первый из которых является определенным
и равен некоторому конечному значению.
Сходимость интеграла Пуассона полностью
определяется сходимостью (или
расходимостью) второго интеграла.
Сравним второй интеграл
с уже вычисленным в примере 16.1.1
несобственным интегралом
.
Из рис. 16.2 видно, что при
для подынтегральных функций выполняется
неравенство
и, следовательно, площадь фигуры,
ограниченной кривой Гаусса, меньше
площади фигуры, ограниченной линией
,
т. е.
.
Так как
,
то получаем
.
Таким образом,
рассматриваемый интеграл ограничен
конечным числом
и, по определению, сходится. Отсюда
получаем, что интеграл Пуассона также
сходится. Численно интеграл Пуассона
равен площади фигуры, заштрихованной
на рис. 16.2. Можно показать, что
.
Аналогично
исследуется сходимость несобственного
интеграла
,
при этом оказывается
.
Тогда площадь под
кривой Гаусса на интервале
равна
.
Ответ: Интеграл Пуассона является сходящимся.
Дадим определение
несобственного интеграла от неограниченной
функции. Пусть функция
не ограничена в окрестности одного из
пределов интегрирования а
или b.
Тогда интеграл
также
называется несобственным. Функция y
= f(x)
(рис. 16.3) не ограничена в окрестности
точки а.
Предположим,
что функция y
= f(x)
непрерывна
на интервале a < x b,
тогда при любом
существует
определенный интеграл
,
его предел при
называется несобственным
интегралом второго рода и
обозначается
.
(16.4)
Если существует конечный предел (16.4), то говорят, что несобственный интеграл сходится, если предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Рис. 16.3 Рис. 16.4
Аналогично определяется несобственный интеграл, если подынтегральная функция y = f(x) не ограничена в окрестности точки b (рис. 16.4):
.
(16.5)
При этом предполагают, что функция y = f(x) непрерывна при a х< b.
Если точка разрыва x = с лежит внутри промежутка (a, b) (рис. 16.5 и 16.6), то
. (16.6)
Рис. 16.5 Рис. 16.6
Отметим, что бесконечно малые 1 и 2 стремятся к нулю независимо друг от друга.
Несобственный интеграл (16.6) сходится тогда, когда существует и конечен каждый из пределов в правой части равенства (16.6), и расходится, если хотя бы один из этих пределов не существует или бесконечен.
Обратите внимание на то, что во всех случаях (16.4)–(16.6) несобственные интегралы от неограниченных функций обозначаются так же, как и обычные определенные интегралы.
Приведем алгоритм вычисления интегралов (16.4)–(16.6).