Задания для самостоятельного решения

14.1. Вычислите неопределенные интегралы. В номерах 6–25 сделайте проверку.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) ;

22) ; 23) ; 24) ;

25) ; 26) ; 27) ;

28) ; 29) ; 30) .

14.2. Используя таблицы интегралов из справочной литературы, найдите интегралы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Занятие 15

Определенные интегралы

1. Понятие определенного интеграла. 2. Геометрический смысл определенного интеграла. 3. Основные свойства определенного интеграла. 4. Формула Ньютона–Лейбница

При решении многих важных задач приходиться суммировать бесконечно большое число бесконечно малых слагаемых. Это приводит к одному из центральных понятий математики, к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла возникает, например, при решении задач о нахождении площади криволинейной трапеции, длины дуги плоской кривой или объем тела вращения, т. е. величин суммируемых (аддитивных).

Р

x₁ х₂ х_i-1 x_i

0

ассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью 0х, прямыми х = а, х = b и непрерывной функцией у = f (x) (рис. 15.1).

Рис. 15.1

Сформулируем алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции, который дает одновременно и один из методов ее нахождения.

Алгоритм 10 Нахождение площади криволинейной трапеции

Шаг 1. Делим отрезок [a, b] произвольным образом на n частей х₁, х₂,…х_i,…х_n точками a = x₀, x₁, …, x_n = b (на рис. 15.1 n = 4), где .

Шаг 2. Выберем на каждом отрезке разбиения х_i произвольную точку (i = 1, 2…n).

Шаг 3. Строим прямоугольники с основаниями х_i и высотами f (_i) соответственно (i = 1, 2…n).

Шаг 4. Вычисляем площадь ступенчатой фигуры S_n:

S_n = f (₁) х₁ + f (₂) х₂+…+ f (_n) х_n. = ,

Шаг 5. Величина площади криволинейной трапеции является пределом, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, при max х_i  0 (n  )

Суммы S_n = f (₁) х₁ + f (₂) х₂ +…+ f (_n) х_n. = называются интегральными. Мы получаем такие суммы всякий раз, когда вычисляем величины (длины, объемы, массы, …), требующие суммирования.

Замечание: величина S_n зависит от:

• числа n отрезков разбиения;

• способа разбиения отрезка [a, b];

• выбора точек _i , ₂ , … _n .

Определенным интегралом (в смысле Римана) от функции у = f(x) на отрезке [a, b] называется конечный предел (не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a, b], ни от выбора произвольной точки _i) ее интегральной суммы, когда число отрезков разбиения возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю,

,

где х называется переменной интегрирования; f(x) – подынтегральной функцией; a – нижним пределом интегрирования; b – верхним пределом интегрирования.

В случае, когда функция положительна и непрерывна, интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, а определенный интеграл–площадь криволинейной трапеции. Таким образом, мы получили еще один способ вычисления площади: .

В общем случае, изображенном на (рис. 15.2), площадь вычисляется по формуле

. (15.1)

Ф

Рис. 15.2

ормула 15.1 справедлива независимо от знаков функций f₁(x) и f₂(x), должно лишь выполняться условие f₂ (x) > f₁ (x).

Непосредственное вычисление определенного интеграла, основанное на его определении, очень сложно. Установлена связь между определенным и неопределенным интегралами, которая выражается формулой Ньютона – Лейбница.

, (15.2)

где F (x) – первообразная функции f (x) на отрезке [a, b] (эту первообразную можно считать без константы С, так как при двойной подстановке константа сокращается).

Алгоритм 11 Вычисление определенного интеграла Шаг 1. Известными методами или по таблицам находим первообразную F(x); Шаг 2. Вычисляем следующим образом: находим значение F(x) в точке x = b и вычитаем значение F(x) в точке x = а.

Формула Ньютона – Лейбница позволяет все методы и приемы вычисления неопределенных интегралов применять к нахождению определенных интегралов.

Пример 15.1. Вычислим .

1. Вычислим неопределенный интеграл (находим первообразную):

2. По формуле Ньютона – Лейбница находим значения этой первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования

.

Ответ: .

При вычислении определенных интегралов используются свойства интегралов.

Основные свойства определенных интегралов

1. Свойство линейности:

2.  .

3. Для  а < c < b .

4. Если f(x)  0 на отрезке [a, b], (a < b), то 0.

5. Если f(x) – нечетная функция (рис. 15.3) на [-a, а], то

Если f(x)  – четная функция (рис. 15.4) на [-a, а], то .

6. Если (рис. 15.5), то при a < b .

Рис. 15.3 Рис. 15.4 Рис. 15.5

7. Теорема об оценке определенного интеграла. Если:

1) f(x) интегрируема на отрезке [a, b], (a < b);

2

Рис. 15.6

) m  f(x)  M для x  [a, b], то m (b – a)   M (b – a).

8. Теорема о среднем (рис. 15.6).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], (a < b), то существует такая точка с  [a, b], что = f(c) (b-a).

О

с

бозначим f (c) = <f> среднее значение функции на отрезке, тогда .

Понятие среднего значения функции применяется для оценки характеристик случайных процессов в математической статистике.

Пример 15.2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница, используя свойства интегралов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) 2; 4) .

Пример 15.3. Применив свойства интегралов, найдите значения определенных интегралов (не вычисляя):

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Ответы: 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0.

Пример 15.4. Вычислите и сравните определенные интегралы I₁ и I₂:

1) , 2) , .

1) Вычисляем I₁ = = = = = ; вычисляем I₂ = . Сравниваем значения I₁ и I₂ .

Ответы: 1) I₁ > I₂.                              

2) , , I₁ > I₂.

Пример 15.5. Используя свойства определенного интеграла, сравните определенные интегралы, не вычисляя их:

1) , ; 2) , .

1. Д

   

   Рис. 15.7

   аны интегралы от положительных функций (рис. 15.7) на одинаковых промежутках интегри­рования. Для I₁ подынтег­раль­ная функция , для I₂ подын­тег­ральная функция , причем .

Тогда по свойству (6) I₁ < I₂.

Ответ: 2) I₁ > I₂.

Пример 15.6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. Изобразите фигуру.

1

Рис. 15.8

) ; 2) .

1) – уравнение параболы, – уравнение прямой, параллельной оси 0х (рис. 15.8). Точки пересечения параболы и прямой: , . Вычислим площадь по формуле (15.1)

, где f₂(x) = 5 – x², f₁(x) = 1.

Рис.15.8

=

= .

Замечание. В силу симметрии фигуры можно использовать свойство 5 определенных интегралов для четных функций.

Тогда .

Ответ. 2) 1/12

Пример 15.7. Найдите среднее значение функции на заданном отрезке. Изобразите криволинейную трапецию и дайте геометрическую иллюстрацию.

1) ; ; 2) ; ;

3) ; .

Рис. 15.9

1. Вычислим длину отрезка (рис. 15.9) b – a = ,

.

Тогда <f> = .

Ответы: 2) 1; 3) (указание: ).