13.6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Рассмотрим функцию , непрерывную на отрезке [a, b]. Найдется по крайней мере одна такая точка х₁, что для всех выполняется неравенство , значение называется наибольшим значением функции на [a, b]. Существует такая точка , что для всех выполняется , значение называется наименьшим значением функции на [a, b].

Рис. 13.17

Отметим, что у функции на отрезке [a, b] может быть несколько минимумов и максимумов (на рис. 13.17 в точках х₁, х₃  – максимумы, в точках х₂, х₄  – минимумы), но наибольшее значение одно ( на рис. 13.17) и наименьшее значение тоже одно ( на рис. 13.17). Приведем алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Алгоритм 10 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]

Шаг 1. Находим критические точки функции на интервале (a, b).

Шаг 2. Вычисляем значения функции во всех критических точках, которые принадлежат (a, b).

Шаг 3. Вычисляем значения функции и на концах отрезка.

Шаг 4. Из всех полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.

Пример 13.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:

1) ; [0, 4]; 2) ; [–2, 2];

3) ; [–1, 2]; 4) ; [–6, 8].

1) Шаг 1. Находим критические точки: ; при , (точку  – конец промежутка – здесь можно не рассматривать).

Шаг 2. y(1) = – 1.

Шаг 3. На концах промежутка , .

Шаг 4. Получаем: наибольшее значение функции достигается в точках и и равно 0 (обозначение ), наименьшее значение: .

Ответы: 2) , ;

3) , ;

4) , .    

Задания для самостоятельного решения

13.1. Укажите номера графиков функций, имеющих знаки производной в соответствии с таблицей.

а б в

13.2. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функций.

1) ; 2) y=2^x – x ln 2+1; 3) .

13.3. Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции:

1) ; 2) ; 3) y = ln (x² – 1).

13.4. Найдите асимптоты графика функции и постройте схематический чертеж: 1) ; 2) ; 3) .

13.5. Проведите полное исследование функций и постройте график:

1) ; 2) ; 3) .

13.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:

1) , [–2, 1]; 2) , [0, 1];

3) , [0, 3].

18