13.4. Асимптоты кривой

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние между точками линии и прямой стремится к нулю, когда точки кривой неограниченно удаляются от начала координат. Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Вертикальная асимптота

Рис. 13.5

Е

Рис. 13.6

сли х₀ – точка бесконечного разрыва функции , то  – уравнение вертикальной асимптоты (рис. 13.5). У непрерывных кривых вертикальных асимптот нет.

Наклонная асимптота

Уравнение наклонной асимптоты , (k¹0), где

, (рис. 13.6).

Г

Рис. 13.7

оризонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты при k = 0; её уравнение , где (рис. 13.7).

Пример 13.4. Найдем асимптоты графика функции и построим схематический чертеж.

, х = 2 – точка разрыва функции.

При – 0 числитель ® 5, а знамена­тель ® – 0. Применим условную запись: = .

Аналогично . В точке х = 2 функция терпит бесконечный разрыв, следовательно, х = 2 – уравнение вертикальной асимптоты. Находим наклонную асимптоту в виде ;

Рис. 13.8

.

Отметим, что при и получаем k = 1.

.

Уравнение наклонной асимптоты . Горизонтальных асимптот нет, так как . Схематический чертеж дан на рис. 13.8.

13.5. Полное исследование функции и построение графиков

Мы рассмотрели основные элементы поведения функции. Общий план исследования приведен в табл. 13.1.

Алгоритм 9 Полное исследование функций Шаг 1. Устанавливаем общие свойства функции: п. 1. Находим Df и точки разрыва функции. п. 2. Проверяем функцию на четность, нечетность и периодичность. Шаг 2. Находим асимптоты кривой: а) вертикальные: ; f(x) ®± ¥ при ± 0; б) наклонные: , , ; в) горизонтальные (если k = 0). Шаг 3. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум (с помощью ). п. 3. Находим и вычисляем критические точки из уравнения (для дифференцируемых функций) или не существует. п. 4. Отмечаем на числовой оси критические точки, принадлежащие Df, и определяем знаки в каждом интервале. При убывает, при возрастает. п. 5. Определяем экстремумы функции: если при переходе через критическую точку х0 производная меняет знак а) с «–» на «+» – в точке х0 минимум; б) с «+» на «–» – в точке х0 максимум. Вычисляем , . Шаг 4. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, находим точки перегиба (с помощью ). п. 6. Находим и вычисляем точки, в которых или не существует. п. 7. Отмечаем на числовой оси найденные точки, принадлежащие Df, и определяем знаки в каждом интервале:  – кривая вогнута,  – кривая выпукла. п. 8. Если при переходе через точку х0 (где или не существует) вторая производная меняет знак, то х0 – точка перегиба. Шаг 5. Составляем таблицу, используя полученные данные исследо­вания. Шаг 6. На основе таблицы строим график функции.

При проведении частичного исследования функции выполняем следующие пункты алгоритма 9:

1) исследование на монотонность – п. 1, шаг 3 п. 3, 4;

2) исследование на экстремум – п. 1, шаг 3 п. 3, 4, 5;

3) исследование на выпуклость, вогнутость графика функции – п. 1, шаг 4 п. 6, 7;

4) нахождение точек перегиба – п. 1, шаг 4 п. 6, 7, 8;

5) нахождение асимптот графика функции – шаг 2.

Пример 13.5. Покажите, что функция везде возрастает.

Пример 13.6. Покажите, что функция убывает в любом интервале, не содержащем точку .

Пример 13.7. Найдите интервалы монотонности функций

1) ; 2) ; 3) .

Ответы: 1) возрастает при хÎ(–¥; –1) È (3; ¥); убывает при хÎ(–1;3); 2) возрастает при ; убывает при ; 3) убывает при ; возрастает при .

Пример 13.8. Найдите экстремумы функций:

1) ; 2) ; 3) .

Ответы: 1) , ;

2) , ;      

3) .                                 

Пример 13.9. Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции: 1) ; 2) .

Ответы: 1) интервалы: вогнутости – È (1; ¥), выпуклости – ;  – точки перегиба; 2) интервалы: выпуклости – , вогнутости – ;  – точка перегиба.

Пример 13.10. Найдите асимптоты графика функции и постройте схематический график.

1) , 2) ; 3) .

Ответы:

1) Асимптоты: x = 2, y = 1 (рис. 13.9)

2) Асимптоты: x = –1, y = x (рис. 13.10)

3) Асимптоты: x = 0, y = 2 – x (рис. 13.11)

Рис. 13.9 Рис. 13.10 Рис. 13.11

Пример 13.11. Проведите полное исследование функций и постройте графики:

1) ; 2) ; 3) ;

4) , 5) .

1) Используем алгоритм 9.

Шаг 1: п. 1. . Функция непрерывна, точек разрыва (и, следовательно, вертикальных асимптот) нет.

п. 2. Функция четная, поэтому график симметричен относительно оси Оy, непериодическая.

Шаг 2. Находим наклонные асимптоты кривой в виде ;  – наклонных асимптот нет; = 0. Уравнение горизонтальной асимптоты .

Ш аг 3. п. 3. Находим интервалы монотонности и экстремумы функции:

. Критические точки находим из уравнения .

п. 4 возрастает при , убывает при .

п. 5. Так как при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «–», то  – точка максимума, f _max = f(0) = 1.

Шаг 4. п. 6. Находим интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба с помощью второй производной:

= ;

при .

п. 7.

При график вогнутый, при  – выпуклый.

п. 8. Точки  – точки перегиба, так как при переходе через эти точки вторая производная меняет знак; .

Шаг 5. Составляем таблицу, в которую вносим все результаты исследования

x				0
	+	+	+	0	–	–	–
	+	0	–	–	–	0	+
	возрастает, вогнута	точка перегиба	возрастает, выпукла	max	убывает, выпукла	точка перегиба	убывает, вогнута

Шаг 6. Получаем график кривой, которая называется кривой Гаусса (рис.13.12) и широко используется в теории вероятностей.

Рис. 13.12

2) Это тоже кривая Гаусса, которая смещена по оси 0x вправо, если , и влево, если , причем чем больше величина σ, тем «шире» кривая Гаусса и меньше ее максимальное значение (рис. 13.13).

Рис. 13.13

Ответы:

3

Рис. 13.14

Рис. 13.15

) ,  – уравнение вертикальной асимптоты, – уравнение горизонтальной асимптоты при ; ; убывает при ; возрастает при ; точек перегиба нет; при график вогнутый, при  – выпуклый (рис. 13.14).

4) , непрерывна,  – уравнение горизонтальной асимптоты при ; убывает при ; возрастает при ; ; при функция вогнута, при  – функция выпукла, – точка перегиба, (рис. 13.15).

5

Рис. 13.16

) , непрерывна, асимптот нет; возрастает при хÎ(–¥;0)È(2; ¥); убывает при хÎ(0;2); f _max = f (0) = 2, f _min =f (2) = – 2; функция вогнута при x>1, функция выпукла при x < 1, x = 1 – точка перегиба, f (1) = 0 (рис. 13.16).