Занятие 13

Исследование и построение графиков функций с помощью производных

1. Возрастание и убывание функции. 2. Экстремумы функции. 3. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба. 4. Асимптоты кривой. 5. Полное исследование функции. 6. Наибольшее и наименьшее значение функции

Опишем с помощью производных основные понятия, которые возникают при исследовании функций.

13.1. Возрастание и убывание функций

Сформулируем понятие возрастания (убывания) функций на языке приращений и на языке производных соответственно.

Функция является монотонно возрастающей ( ) (рис. 13.1) в интервале :

Û Þ (или Û Dx < 0 Þ Df < 0).

Û Þ f ¢ (x) > 0

Рис. 13.1 Рис. 13.2

Функция является монотонно убывающей ( ) (рис.13.2) в интервале :

Û Þ Df < 0 (или Û Dx < 0 Þ Df > 0).

Û Þ f ¢(x) <0.

Покажем, например, что функция убывает всюду в области определения : для , следовательно, функция убывает.

Пример 13.1. Укажите номера графиков функций, имеющих знаки производной в соответствии с таблицей.

Ответы: 1) б; 2) в.

13.2. Экстремумы функции

Пусть в точке х₀ функция непрерывна.

Точка х₀ называется точкой максимума функции :

х₀ – точка max f(x) Û"xÎ U(x₀ ,d) Þ f(x)< .

Точка х₀ называется точкой минимума функции :

х₀ – точка min f(x) Û "x Î U(x₀, d) Þ .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

На рис. 13.3 точки х₁, х₃ – точки минимума, х₂, х₄ – точки максимума. В точках гладкого экстремума (точки х₁, х₄) . В «угловых» точках (точки х₂, х₃) не существует. Точки, в которых или не существует, называются критическими (подозрительными на экстремум). Не всякая критическая точка является точкой экстремума (на рис. 13.3 , но точка х₅ не является точкой экстремума).

Рис. 13.3

К

0

ритическая точка х₀ является точкой экстремума функции , если при переходе (слева направо) через х₀ производная меняет знак:

а) если с «+» на «–», то в точке х₀ – max,

б) если с «–» на «+», то в точке х₀ – min.

Пример 13.2. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции .

. Находим критические точки, для этого вычисляем производную ; при , х = е ( не существует при , но ). Разбиваем на интервалы (0, 1) (1, е) (е, ) и определяем знаки :

(0, 1) (1, е)

(е, ) .

При переходе через точку х = е меняет знак с «–» на «+», следовательно, х = е – точка минимума, .

13.3. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба

П

Рис. 13.4

усть функция непрерывна на . Кривая называется выпуклой в интервале , если она находится ниже любой своей касательной, и называется вогнутой, если находится выше касательной. Точка кривой, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. На рис. 13.4 точка Р – точка перегиба.

Исследование на выпуклость, вогнутость и нахождение точек перегиба кривой проводятся с помощью второй производной.

Если для каждого , то кривая выпукла на ; если , то – вогнута. В точках перегиба или не существует и при переходе через точку перегиба меняет знак (рис. 13.4).

Пример. 13.3. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .

. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости находим . Вычисляем ;

. Вторая производная при .

П рименяем метод интервалов.

При – кривая выпукла, при  – вогнута;

 – точка перегиба, .