Алгоритм 6

Решение системы АХ = В с помощью обратной матрицы

Шаг 1. Находим обратную матрицу А^–1 для матрицы системы А.

Шаг 2. Умножаем обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов

Х = А^–1В.                    (3.4)

Полученный вектор-столбец – искомый набор неизвестных.

Шаг 3. Делаем проверку.

Пример 3.1. Решить систему линейных уравнений:

1. методом Крамера;

2. с помощью обратной матрицы;

3. методом Гаусса:

а) ; б)

а) выписываем матрицы: А = , В = , Х = .

1) Воспользуемся формулами Крамера (3.3):

Предварительно вычислим все определители det А и (i = 1, 2, 3):

det А =  = = – + = – 21

= = – 21, = = – 42, = = 21,

= = 1, = = 2, = = – 1.

Проверка выполняется обязательно для всех уравнений системы:

Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = – 1 или Х ^т = (1, 2, –1).

2) Решим систему с помощью обратной матрицы, применив алгоритм 6.

Шаг 1. Найдем обратную матрицу (воспользуемся результатами примера 2.9):

А^–1 = ;

Шаг 2. Используем формулу (3.4)

Х = = = = = ;

Шаг 3. Проверка сделана в пункте 1).

Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = – 1 или Х^т = (1, 2, – 1).

3) Решим систему методом Гаусса. Для этого выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход метода Гаусса) с помощью элементарных преобразований со строками этой матрицы:

А|В =  

  .

Полученная треугольная матрица соответствует системе:

.

Обратным ходом метода Гаусса найдем все неизвестные. Из последнего уравнения находим х₃; подставляя его во второе уравнение, находим х₂. Подставляя х₂ и х₃ в первое уравнение, находим х₁.

Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = – 1 или Х^т = (1, 2, – 1).

Ответ: б)  = – 9; x₁ = x₂ = 1, x₃ = 3.

В дальнейшем мы встретимся с необходимостью решать однородные системы второго порядка (n = 2), поэтому рассмотрим построение решения однородной системы AX = 0.

Система имеет вид

Эти алгебраические уравнения первой степени являются уравнениями прямых в R².

Рассмотрим два случая det A  0 и det A = 0:

1)  = det A  0  – геометрически это означает, что прямые и не параллельны, т. е. пересекаются (рис. 3.1), точка их пересечения (с₁; с₂), а алгебраически – система совместная и определенная, ее решение:

с₁ = = 0, с₂ = = 0.

Рис. 3.1 Рис. 3.2

2)  = det A = 0  – геометрически это означает, что данные прямые и совпадают (рис. 3.2), а алгебраический смысл этого равенства – система совместная и неопределенная, т. е. имеет множество решений. Это множество решений можно построить следующим образом: поскольку система содержит одно уравнение , а неизвестных в нем два, то одно из неизвестных положим равной произвольной постоянной: х₁ = с, тогда

 х₂ = и множество решений имеет вид: Х = = с , а вектор = определяет направление прямой = .

Замечание. В процессе решения как х₁, так и х₂ можно положить равными с.

Пример 3.2. Найти решение системы

а) , б) .

а)  .

Пусть х = с  y = 2c  X = = c .

Пусть с = 1, тогда частное решение (одно из множества), определяющее направление прямой 2х – у = 0, равно = (1; 2) или Х = .

Ответ: Х = с , = (1; 2).

Ответ: б) Х = с , = (1; – 1) или Х = с , = (– 1; 1).