Занятие 3

Системы линейных алгебраических уравнений

1. Основные определения. 2. Решение крамеровских систем линейных алгебраических уравнений: а) с использованием формул Крамера; б) с использованием обратной матрицы; в) методом Гаусса. 3. Решение однородных систем второго порядка

Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными:

(3.1)

или AX = B, где ; X = ; В = .

А – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных (матрица системы), Х – вектор-столбец неизвестных, В – вектор-столбец свободных членов.

Система (3.1) называется неоднородной, если вектор-столбец В имеет хотя бы один элемент, не равный нулю, и однородной, если все элементы b_k = 0 (k =  ) (система (3.1) имеет вид AX = 0).

Решением системы (3.1.) называется вектор-столбец

С = , если AC = B или .

Система (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решения не имеет.

Совместная система называется определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если имеет бесконечное число решений.

Заниматься анализом условий, приводящих к каждой из возможностей (одно решение, бесконечно много решений, решение отсутствует), мы не будем.

Рассмотрим способы нахождения решений только крамеровских (определенных) систем, в которых

• число уравнений равно числу неизвестных (в системе (3.1) m = n),

• определитель матрицы системы не равен нулю.

Опишем три способа нахождения решения системы (3.1): метод Гаусса, с помощью формул Крамера и с использованием обратной матрицы.

Первый из способов универсален, так как справедлив при любых соотношениях m и n: m  n, m = n, а два других можно применять только тогда, когда m = n и det A  0.

Формулы Крамера для системы (3.2)

имеют вид , , …, , (3.3)

где  = det А, ( =  ) – определители матриц, полученные из матрицы А заменой элементов -го столбца на элементы столбца В – свободных членов.

Например, х_k = .

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений заключается в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы, которые приводят систему к эквивалентной исходной (имеющей с исходной системой одно и то же решение).

Приведем алгоритм решения систем методом Гаусса.

Замечание. Однородная крамеровская система AX = 0 имеет только нулевое решение, т. е. = 0, поскольку все = 0.

Алгоритм 5 Решение крамеровских систем методом Гаусса

Шаг 1. Составляем расширенную матрицу АВ присоединением к матрице системы столбца из свободных членов

А В = ;

Шаг 2. Приводим матрицу АВ к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований

АВ  .

Ш аг 3. Составляем эквивалентную систему, соответствующую матрице, полученной на шаге 2 (прямой ход метода Гаусса).

Шаг 4. Единственное решение системы получаем обратным ходом метода Гаусса, решая эквивалентную систему с последнего уравнения, в котором вычислим х_n.

Шаг 5. Делаем проверку.

Систему (3.2) можно записать в матричном виде: AX = B. Если det A  0, то существует А^–1, тогда:      .

Для нахождения решения системы (3.2) с помощью обратной матрицы можно применить алгоритм.