Теория вероятностей

II. Случайные события

1. Предмет теории вероятностей

Наблюдаемые нами события по их возможности наступления можно разделить на достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называется событие, которые обязательно произойдет, если будет выполнен ряд условий S₁, S₂, …S_n. Например, достоверным является событие закипания воды при температуре 100˚С при нормальных условиях. В этом примере температура воды, а также давление есть набор условий S₁, S₂, …S_n.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при выполнении ряда условий S₁, S₂, …S_n. Например, невозможным можно считать закипание воды при температуре 40˚С при нормальных условиях.

Случайным называют событие, которое может произойти, либо не произойти при выполнении определенного ряда условий S₁, S₂, …S_n. То есть, не все события в окружающем нас мире полностью определяются выполнением ряда условий (подобные процессы называются детерминированными). Наряду с этим, существует довольно большое количество процессов в разных областях человеческих знаний, в которых важную роль играют именно случайные события.

Возьмем кубик, имеющий 6 граней. Случайным событием можно считать выпавшее на его верхней грани число. Очевидно, что в процессе броска на кубик действует большое число внешних факторов, учесть которые практически невозможно. Более того, в подобном учете нет никакой необходимости, поскольку методы теории вероятностей позволяют полностью описать этот процесс при условии, что для кубика будет произведено достаточно большое количество таких подбрасываний. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание таких закономерностей позволяет предвидеть динамику подобных процессов. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях общественных и технических наук. Теория вероятностей служит также обоснованием для математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, в различных отраслях экономики и теории управления.

2. Основные понятия теории вероятностей

Испытания и события

Итак, событие называется случайным, если оно может произойти или не произойти при выполнении ряда условий. В дальнейшем вместо этого будем говорить, что проведено испытание. Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Виды случайных событий

Несовместными называют события А₁, А₂, …А_n , если появление одного из них исключает появление всех остальных.

Несколько событий А₁, А₂, …А_n образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Иными словами, появление хотя бы одного события есть достоверное событие.

Группа событий А₁, А₂, …А_n образует группу попарно несовместных событий, если в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

События называют равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Классическое определение вероятности

Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Пусть в урне находится 10 белых шаров и 6 черных. Какова вероятность достать черный шар? Пусть событие А – появление белого шара, а событие В – черного шара. Видно, что эти события образуют полную группу попарно несовместных событий. Вероятность события В есть отношение благоприятного числа исходов к полному числу исходов. Всего исходов 10 + 6 = 16, а благоприятных – 6. Тогда вероятность равна .

Итак, вероятность события А есть отношение числа благоприятных данному событию исходов к полному числу всех равновозможных, несовместных элементарных исходов , образующих полную группу, то есть