2013 КазГАСА Математика 1

Казахская головная архитектурно-строительная академия Активный раздаточный материал Математика 1 ФОЕНП Кредит 3 1 семестр Лекция №3 «Векторы» 2013-2014 уч. год

Краткое содержание лекции

Векторы и скаляры. Линейные действия над векторами.

Вектором а, называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из этого множества говорят, что он представляет вектор а . Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |a|=|AB|. Модуль вектора – это скаляр.

Вектор нулевой длины, называется нулевым вектором и обозначается символом О. Векторы а и в, называются коллинеарными если они параллельны одной прямой. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

В b

a C

А

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковый модуль, параллельны и направлены в одну и ту же сторону.

a b

К линейным действиям над векторами относятся их сложение и умножение вектора на скаляр.

Пусть направленный отрезок АВ представляет вектор а. Приложив к точке В заданный вектор в, получим некоторый направленный отрезок ВС. Вектор, представляемый направленным отрезком АС, называется суммой векторов а и в и обозначается а + в. Суммой векторов а+в+с называется вектор R=OC, замыкающий ломаную ОАВС построенную

из данных векторов.

В частности, в параллелограмме, построенном на данных векторах ОА=а и ОВ = в, один вектор – диагональ ОС есть сумма а+в, а другой ВА есть разность а-в. Если дан вектор а=АВ, то вектор ВА называется противоположным вектором к вектору а и обозначается – а. Очевидно, что а+(-а)= 0. Вычесть какой - либо вектор – это значить прибавить противоположный. Отсюда следует, что в + (а - в)=в + [в + (-в)]=а+0=а.

Система векторов аֽ..., аn называется линейно-зависимой, если существуют числа λ1 , ..., λn такие, что хотя бы одна из них отлично от нуля и λ1 а1 + ...+ λn аn =0. В противном случае система называется лин ейно – независимой.

Проекция вектора.

Пусть вектор а составляет угол φ с осью Ох. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой пр_е ≤ |а| · cosφ.

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекцией составляющих векторов на ту же ось:

Пр_е (а + в)=пр_еа + пр_ев.

Пусть даны точки А(x₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂). Проекция вектора а=АВ на оси координат: пр_x АВ=X=х₂-х₁

Пр_y АВ=Y=у₂-у₁ (1)

Пр_z АВ=Z=z₂-z₁

т.е а = {х₂-х₁; у₂-у₁; z₂-z₁}